El blog de Estructuras Algebraicas I

Ya sabéis que los anillos $(\mathbb{Z}_p,+,\cdot)$, con $p$ primo, son cuerpos finitos (tienen $p$ elementos). Sin embargo, no son los únicos cuerpos finitos. Veamos ahora cómo construir más. Para ello vamos a utilizar el último resultado que hemos probado en las clases de teoría: si $A$ es un anillo conmutativo e $I$ es un ideal de $A$ entonces $I$ es ideal maximal si y sólo si $A/I$ es cuerpo.

Sea $p$ cualquier número primo y consideremos el anillo de polinomios con coeficientes en $\mathbb{Z}_p$, $A=\mathbb{Z}_p[x]$. Consideremos también un polinomio irreducible $f(x)\in \mathbb{Z}_p[x]$ (irreducible significa que no puede escribirse como producto de dos polinomios en $\mathbb{Z}_p[x]$ no constantes). Sea el ideal $I$ de $\mathbb{Z}_p[x]$ generado por $f(x)$, es decir, $I=\langle f(x) \rangle=A f(x)=\mathbb{Z}_p[x]f(x)$ (cuyos elementos son exactamente los múltiplos de $f(x)$, es decir, los polinomios de la forma $h(x)f(x)$ con $h(x)\in \mathbb{Z}_p[x]$.

Puede demostrarse que $I$ es un ideal maximal de $\mathbb{Z}_p[x]$ (esta prueba la veréis en cuarto) y, por tanto, aplicando la caracterización de los ideales maximales antes mencionada, el anillo cociente $\mathbb{Z}_p[x]/I$ es un cuerpo.

Veamos que este cuerpo tiene una cantidad finita de elementos. Si $h(x)+I$ es un elemento cualquiera de $\mathbb{Z}_p[x]/I$ entonces, dividiendo $h(x)$ entre $f(x)$, se tiene que existen dos polinomios únicos $q(x)$ (cociente) y $r(x)$ (resto) tales que $h(x)=q(x)f(x)+r(x)$, donde o bien $r(x)$ es el polinomio nulo, o bien es un polinomio no nulo de grado estrictamente menor que el grado de $f(x)$. (El ‘Algoritmo de la División’ también es válido para polinomios con coeficientes en cualquier cuerpo). Tomando clases módulo el ideal $I$ tenemos que

$$h(x)+I=(q(x)+I)(f(x)+I)+(r(x)+I)=r(x)+I$$

porque $f(x)+I=0+I$ al ser $f(x)\in I$. Si llamamos $d$ al grado de $f(x)$, como el grado de $r(x)$ es menor que $d$ (en caso de no ser el polinomio nulo), se tiene que

$$r(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_{d-1}x^{d-1}$$

para ciertos elementos $a_0,\ldots, a_{d-1}\in \mathbb{Z}_p$. Luego:

$$h(x)+I=(a_0+I)(1+I)+(a_1+I)(x+I)+\cdots + (a_{d-1}+I)(x^{d-1}+I).$$

Fijémonos en que, si $a,b\in \mathbb{Z}_p$ (es decir, son polinomios constantes) entonces $a+I=b+I$ si y sólo si $a-b\in I$ si y sólo si $a-b$ es un múltiplo del polinomio $f(x)$. Y esto ocurre si y sólo si $a-b=0$ (es decir, $a=b$), pues $a-b$ es un polinomio constante y $f(x)$ es un polinomio de grado $d\geq 1$. Por tanto, para cada coeficiente $a_i+I$ hay tantas posibilidades distintas como elementos $a_i$ en $\mathbb{Z}_p$ (es decir, $p$ posibilidades).

Con esto, acabamos de probar que todo elemento $h(x)+I$ del cuerpo $\mathbb{Z}_p[x]/I$ puede expresarse como combinación lineal (con coeficientes de la forma $a_i+I$, con $a_i$ constante en $\mathbb{Z}_p$) de las siguientes $d$ clases: $1+I, x+I, x^2+I,\ldots, x^{d-1}+I$. Como cada uno de los coeficientes $a_i+I$ puede tomar sólo $p$ valores (los correspondientes a los $p$ elementos de $\mathbb{Z}_p$) se tiene que hay, como mucho, $p^d$ elementos en $\mathbb{Z}_p[x]/I$. De hecho, puede justificarse fácilmente (no entramos aquí en esto) que estos $p^d$ elementos son todos distintos. Por tanto, concluimos que el cuerpo $\mathbb{Z}_p[x]/I$ tiene, exactamente, $p^d$ elementos (donde $d$ es el grado del polinomio irreducible $f(x)$).

Para construir cuerpos finitos de esta manera podemos tomar cualquier polinomio irreducible $f(x)$ de $\mathbb{Z}_p[x]$. Puede demostrarse que si $f_1(x)$ y $f_2(x)$ son dos polinomios irreducibles de $\mathbb{Z}_p[x]$ del mismo grado entonces los respectivos cuerpos $\mathbb{Z}_p[x]/\langle f_1(x)\rangle$ y $\mathbb{Z}_p[x]/\langle f_2(x)\rangle$ son isomorfos. Como consecuencia de esto (y de otros hechos relevantes) se deduce que, para cada número primo $p$ y para cada número natural $d$ existe, salvo isomorfismo, un único cuerpo con $p^d$ elementos. Este cuerpo se denomina cuerpo de Galois de cardinal $p^d$ y suele denotarse por $GF(p^d)$ (en inglés “Galois field”). (Para polinomios de grado 1 se obtienen los conocidos cuerpos $GF(p)=\mathbb{Z}_p$ con $p$ primo).

Y hay más: puede demostrarse que estos son todos los cuerpos finitos que existen (salvo isomorfismo). No hay más. Cualquier cuerpo finito debe ser isomorfo a uno de los grupos de Galois $GF(p^d)$.

Describimos someramente, a continuación, una de las aplicaciones más básicas del Álgebra Conmutativa: resolución de sistemas de ecuaciones polinómicas.

Si $A$ es un anillo y $x$ es una indeterminada, denotemos por $A[x]$ al conjunto de expresiones formales del tipo $$a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n,$$ donde $a_i\in A$ para todo $i$ y $n$ es un número entero no negativo. Una expresión de este tipo se denomina polinomio con coeficientes en $A$ e indeterminada $x$. Ya habéis trabajado con polinomios en Educación Secundaria y en Bachillerato; la única diferencia es que los coeficientes que usábais eran números reales y aquí se permiten coeficientes en cualquier anillo $A$. También habéis visto que dos polinomios se pueden sumar y multiplicar. En el caso más general que nos ocupa, la suma y el producto de polinomios se definen igual. Es sencillo probar que $(A[x],+,\cdot)$ tiene estructura de anillo.

Podemos considerar también polinomios en más indeterminadas. Si $x_1,…,x_n$ es un conjunto de indeterminadas, se denomina monomio en $x_1,…,x_n$ a cualquier expresión del tipo $x_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n}$, donde los exponentes $\alpha_i$ son enteros no negativos. Dicho de otro modo, un monomio es un producto de potencias de las indeterminadas. Se denomina polinomio en $x_1,\ldots,x_n$ con coeficientes en $A$ a cualquier combinación lineal de monomios con coeficientes en $A$. El conjunto de todos estos polinomios se denota por $A[x_1,\ldots,x_n]$. Por ejemplo, si consideramos dos indeterminadas $x,y$, las expresiones $0$, $3$, $2+5x+yxy^2$ y $x^2y-7xy^5-12x^7$ son ejemplos de polinomios en $\mathbb{Z}[x,y]$. De manera totalmente análoga (y natural) al caso de $A[x]$, se definen la suma y el producto de polinomios en $A[x_1,\ldots,x_n]$. Además, $(A[x_1,\ldots,x_n],+,\cdot)$ también tiene estructura de anillo (denominado anillo de polinomios en las indeterminadas $x_1,\ldots,x_n$).

Vamos a centrarnos en anillos de polinomios con coeficientes en un cuerpo $K$. Es decir, anillos del tipo $K[x_1,\ldots,x_n]$. Vamos a considerar, como ejemplo, $K=\mathbb{C}$ (el cuerpo de los números complejos) y vamos a tomar dos indeterminadas $x,y$.

Vamos a considerar el siguiente sistema de ecuaciones con coeficientes en $\mathbb{C}$: $$f:=xy^2-2x-y^2+2=0,$$ $$g:=x^2y-x^2+y+1=0.$$ Nuestro objetivo va a ser resolver dicho sistema de ecuaciones, es decir, encontrar todos los pares de números complejos $(x,y)$ que satisfacen estas dos ecuaciones.

Esto no parece fácil, a simple vista. Veremos (someramente, sin detalles) que determinados resultados de álgebra conmutativa nos van a permitir resolver este sistema.

Fijémonos en que los primeros miembros de las ecuaciones, $f$ y $g$, son polinomios con dos indeterminadas ($x,y$) y coeficientes en $\mathbb{C}$. Es decir, $f,g\in \mathbb{C}[x,y]$. Lo que buscamos al resolver el sistema de ecuaciones es el conjunto de ceros comunes a $f$ y a $g$, entendiéndose como cero de un polinomio $h\in \mathbb{C}[x,y]$ un punto $(a,b)\in \mathbb{C}\times \mathbb{C}$ en el que se anula $h$ (es decir, tal que $h(a,b)=0$).

Introduzcamos un poco de notación: si $S$ es un conjunto de polinomios en $\mathbb{C}[x,y]$, denotaremos por $V(S)$ al conjunto de todos los puntos $(a,b)\in \mathbb{C}\times \mathbb{C}$ tales que $h(a,b)=0$ para todo $h\in S$. Dicho de otro modo, $V(S)$ es el conjunto de ceros comunes a todos los polinomios de $S$. En nuestro ejemplo, lo que buscamos es el conjunto $V(\{f,g\})$.

La primera observación importante es la siguiente: si $\langle f,g\rangle$ es el ideal de $\mathbb{C}[x,y]$ generado por $f$ y $g$ entonces $V(\{f,g\})=V(\langle f, g\rangle)$. Dicho de otro modo, el conjunto de ceros comunes a $f$ y a $g$ es exactamente el mismo que el conjunto de ceros comunes a todos los polinomios pertenecientes al ideal que generan $f$ y $g$. Veamos esto:

Si $(a,b)\in V(\{f,g\})$ y $h$ es un polinomio perteneciente al ideal $\langle f,g\rangle$ entonces $h(a,b)=0$. En efecto: sabemos (lo hemos visto en teoría) que los elementos de $\langle f,g\rangle$ son exactamente todas las combinaciones lineales $f$ y $g$ con coeficientes en en anillo (que, en este caso, es $\mathbb{C}[x,y]$. Por tanto, existen dos polinomios $h_1,h_2\in \mathbb{C}[x,y]$ tales que $h=h_1f+h_2g$. Evaluando $h$ en $(a,b)$ se tiene que $h(a,b)=h_1(a,b)f(a,b)+h_2(a,b)g(a,b)=0$, donde la última igualdad es consecuencia del hecho de que $(a,b)\in V(\{f,g\})$ (es decir, de que $(a,b)$ sea un cero común a $f$ y a $g$). Esto prueba la inclusión $V(\{f,g\})\subseteq V(\langle f, g\rangle)$.

La otra inclusión es clara, ya que tanto $f$ como $g$ pertenecen al ideal $\langle f, g\rangle$.

Por tanto, el conjunto de soluciones del sistema de ecuaciones anterior no depende de las ecuaciones específicas $f=0$ y $g=0$ sino más bien del ideal generado por $f$ y $g$. Así pues, si logramos encontrar un sistema de generadores de $\langle f,g\rangle$ que sea mejor (en el sentido de que las ecuaciones que determinen se puedan resolver fácilmente) habremos ganado.

Hay técnicas de Álgebra Conmutativa Computacional que permiten hacer esto. Dado un ideal de un anillo de polinomios, usando la Teoría de bases de Groebner (de la cual no es pertinente dar más detalles aquí), puede calcularse un conjunto de generadores del ideal «más fácil». En el caso que nos ocupa, puede verse que el conjunto de polinomios $$\{y^3-y^2-2 y+2, x y^2+2 x-y^2+2, x^2+x y^2-2 x+y^2-1\}$$ constituye un sistema generador alternativo del ideal $\langle f,g\rangle$, es decir, $$\langle f,g\rangle=\langle y^3-y^2-2 y+2, x y^2+2 x-y^2+2, x^2+x y^2-2 x+y^2-1 \rangle.$$ Como, por lo dicho antes, $$V(\{f,g\})=V(\langle f,g\rangle)=V(\langle y^3-y^2-2 y+2, x y^2+2 x-y^2+2, x^2+x y^2-2 x+y^2-1 \rangle),$$ resulta que nuestro sistema de ecuaciones inicial es equivalente al sistema siguiente: $$y^3-y^2-2 y+2=0,$$ $$x y^2+2 x-y^2+2=0,$$ $$x^2+x y^2-2 x+y^2-1=0.$$

Observemos que la primera ecuación sólo depende de $y$ (no depende de $x$). Podemos, por tanto, resolver esta ecuación en $y$ (que tiene una sola incógnita) y calcular todos los valores de $y$ posibles en las soluciones. Sustituyendo estos valores en las dos ecuaciones siguientes pueden calcularse los valores de $x$ correspondientes. De esta manera, seremos capaces de resolver el sistema. Si hacemos esto veremos que las soluciones de nuestro sistema son las siguientes: $$ (1,1),(i, \sqrt{2}),(-i, \sqrt{2}),(i,-\sqrt{2}),(-i,-\sqrt{2}).$$

Proofs from the book es un libro de demostraciones matemáticas de Martin Aigner y Günter M. Ziegler. Está dedicado al matemático Paul Erdős, que a menudo se refería a «El Libro» donde Dios guardaba las demostraciones más elegantes de cada teorema matemático. Durante una conferencia en 1985, Erdős dijo que un matemático «no tiene que creer en Dios, pero debería creer en El Libro».