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Archivos anuales: 2024
Clase del 19 de diciembre (2 horas)
Hemos comenzado con varios ejemplos de acciones notables: la acción de un grupo $G$ por multiplicación a derecha sobre el conjunto de las clases a derecha módulo un subgrupo, la acción de $G$ por multiplicación sobre un subgrupo, la acción de $G$ sobre $G$ por conjugación, etc. Dada una acción de un grupo $G$ sobre […]
Clase del 16 de diciembre (1 hora)
En lugar de ver la segunda parte del capítulo 4 (Anillos de polinomios), hemos optado por ver los aspectos más importantes del capítulo 3 (Acciones de un grupo sobre un conjunto). El motivo es doble: por una parte, el estudio de los anillos de polinomios constituye la primera parte de la asignatura de cuarto Estructuras […]
Clase del 12 de diciembre (2 horas)
Se resolvieron problemas del 1al 7 de la hoja de problemas del Capítulo 4. El problema número 8 se dejó como ejercicio. Consiste en la construcción del «cuerpo de cocientes» de un dominio de integridad. Imita el proceso de construcción del cuerpo de los números racionales como conjunto cociente de una relación binaria de equivalencia […]
¿Cómo construir cuerpos finitos?
Ya sabéis que los anillos $(\mathbb{Z}_p,+,\cdot)$, con $p$ primo, son cuerpos finitos (tienen $p$ elementos). Sin embargo, no son los únicos cuerpos finitos. Veamos ahora cómo construir más. Para ello vamos a utilizar el último resultado que hemos probado en las clases de teoría: si $A$ es un anillo conmutativo e $I$ es un ideal […]
Clase del 9 de diciembre (1 hora)
Hemos definido el concepto de ideal primo de un anillo conmutativo $A$ como un ideal $I$ distinto de $A$ tal que se satisface la siguiente implicación: si $a,b\in A$ y $ab\in I$ entonces $a\in I$ o $b\in I$. Hemos probado la siguiente caracterización: un ideal $I$ de $A$ es primo si y sólo si el […]
Clase del 2 de diciembre (1 hora)
Hoy hemos definido el concepto de homomorfismo de anillos y hemos visto algunas de sus propiedades básicas. En particular, hemos visto que el núcleo de un homomorfismo de anillos es un ideal y que la imagen de un homomorfismo de anillos es un subanillo. También hemos demostrado el Primer Teorema de Isomorfía para Anillos. Para […]
Aplicaciones de la teoría de anillos
Describimos someramente, a continuación, una de las aplicaciones más básicas del Álgebra Conmutativa: resolución de sistemas de ecuaciones polinómicas. Si $A$ es un anillo y $x$ es una indeterminada, denotemos por $A[x]$ al conjunto de expresiones formales del tipo $$a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n,$$ donde $a_i\in A$ para todo $i$ y $n$ es un número entero no negativo. Una […]
Proofs from the book
Proofs from the book es un libro de demostraciones matemáticas de Martin Aigner y Günter M. Ziegler. Está dedicado al matemático Paul Erdős, que a menudo se refería a «El Libro» donde Dios guardaba las demostraciones más elegantes de cada teorema matemático. Durante una conferencia en 1985, Erdős dijo que un matemático «no tiene que creer en Dios, pero debería creer en El Libro».
Clase del 28 de noviembre (2 horas)
Definimos la noción de «cuerpo» como un anillo de divisón conmutativo. Como ejemplos, mostramos que el anillo de los enteros no es un cuerpo (puesto que sus únicas unidades son 1 y -1) y que $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$ y $\mathbb{Z}_p$ (con $p$ primo) son cuerpos. Como ejercicio, demostramos que una unidad en un anillo no […]
Clase del 25 de noviembre (1 hora)
Comenzamos el capítulo 4: «Anillos. Anillos de polinomios». Definimos los conceptos de anillo, anillo con identidad y anillo conmutativo. Vimos algunos ejemplos y algunas propiedades básicas. También definimos el concepto de unidad de un anillo y de anillo de división. Probamos que el conjunto de las unidades de un anillo es un grupo (con la […]