Clase del 30 de septiembre (1 hora)
En la clase de hoy hemos probado el Teorema de Lagrange, que afirma que, dado un grupo finito $G$ y un subgrupo $H$ de $G$, el orden de $G$ es igual al producto del orden de $H$ por su índice. Como consecuencia directa de este resultado se infiere que el orden de cualquier subgrupo de […]
Clase del 26 de septiembre (2 horas)
Hemos comenzado la clase recordando un importante teorema que nos indica cuál es la estructura de los grupos cíclicos finitos. En particular, un grupo cíclico finito tiene un único subgrupo de orden $k$ para cada divisor $k$ del orden del grupo (y estos son exactamente sus subgrupos). Hemos visto, como ejemplo, todos los subgrupos de […]
Aplicaciones del álgebra a la criptografía: el criptosistema RSA (parte 6)
¿Dónde radica la seguridad del criptosistema RSA? Conocer la aplicación de descifrado $D$ equivale a conocer la clave privada $d$, que sólo posee Bob. Y esta clave secreta $d$ no puede conocerse a partir de $(n, e)$ sin el conocimiento de $r=\varphi(n)=(p-1)(p-1)$ (recuérdese que $d$ es un representante del inverso de la clase de $e$ […]
Aplicaciones del álgebra a la criptografía: el criptosistema RSA (parte 5)
Para probar que el proceso de descifrado anteriormente descrito es correcto, hay que demostrar que las aplicaciones de cifrado, C, y descifrado, D, son inversas una de la otra, es decir, $C\circ D=D\circ C=Id$, donde $Id: \mathbb{Z}_n\rightarrow \mathbb{Z}_n$ es la aplicación identidad. Como, para todo $\overline{x}\in \mathbb{Z}_n$, $C(D(\overline{x}))=D(C(\overline{x}))=\overline{x}^{ed}$, es suficiente demostrar que $$x^{ed}\equiv x\; ({\rm […]
Aplicaciones del álgebra a la criptografía: el criptosistema RSA (parte 4)
Vamos a diseñar ahora una «función de cifrado», es decir, una función $$C:\mathbb{Z}_n\rightarrow \mathbb{Z}_n$$ tal que, si $\overline{m}$ es el mensaje que Alice quiere cifrar (recordad que Alice ha «preparado» el mensaje para transformarlo en una clase de congruencia módulo $n$), el resultado del cifrado será la imagen de $\overline{m}$ por esta función, es decir, […]
Aplicaciones del álgebra a la criptografía: el criptosistema RSA (parte 3)
Ya hemos visto que la clave pública del criptosistema RSA consiste en un par $(n,e)$, donde $n$ es el producto de dos primos muy grandes, $p$ y $q$, y $e$ es un entero entre $1$ y $r-1$ coprimo con $r$, donde $r=\varphi(n)=\varphi(p q)=(p-1)(q-1)$. Veamos ahora cómo Bob determina una clave privada (que sólo conocerá él). […]
Aplicaciones del álgebra a la criptografía: el criptosistema RSA (parte 2)
Recordemos que tenemos a Alice y a Bob, y que Alice quiere enviar un mensaje encriptado a Bob (usando una clave pública) para que Bob lo descifre (usando SU clave privada). Para ello, Bob considera dos números primos muy grandes $p$ y $q$ y los multiplica, formando un entero muy grande $n:=pq$. Este valor $n$ […]
Aplicaciones del álgebra a la criptografía: el criptosistema RSA (parte 1).
El sistema criptográfico RSA debe su nombre a sus inventores, Ronald Rivest, Adi Shamir y Leonard Adleman, que publicaron por primera vez el método en 1977. Se trata uno de los criptosistemas más utilizados hoy en día, presente como método de seguridad en transacciones bancarias, firma digital, etc. Permite intercambiar información de forma segura entre […]
Clase del 23 de septiembre (1 hora)
Hoy hemos demostrado, en primer lugar, que los subgrupos de $\mathbb{Z}$ son exactamente los de la forma $n\mathbb{Z}$, con $n\in \mathbb{Z}$. También hemos probado un importante teorema sobre la estructura de un grupo cíclico finito. Afirma lo siguiente: si $G$ es un grupo cíclico finito generado por un cierto elemento $g$ de orden $n$ entonces […]
Sobre las prácticas de laboratorio
Estimadas/os estudiantes de Estructuras Algebraicas I, escribo esta entrada para comentaros algunas cosas: – En primer lugar, recordaros que los próximos lunes y jueves comienzan las prácticas de laboratorio de la asignatura, de 19:15 a 21:15. El primer grupo en comenzar es el A4, y las prácticas se realizarán en el Aula de Informática VIII. […]