Hoy hemos continuado viendo ejemplos remarcables de grupos:

• El grupo diédrico de orden 2n (denotado por $D_{2n}$) es el grupo de simetrías de un polígono regular de n lados (para n mayor o igual que 3). Está formado por n rotaciones (de ángulos $2k\pi/n$, para $k=0,1,\ldots,n-1$; la rotación de ángulo $0$ es la identidad) y $n$ reflexiones.
• El grupo cuaternio de orden 8 (denotado por $Q_8$) está formado por $8$ elementos, $\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k$, sujetos a unas “reglas” muy sencillas. Aunque es un grupo formado por matrices, las “reglas” sencillas vistas en clase permiten obtener la tabla de Cayley del grupo y, por tanto, describirlo perfectamente. De esta manera, tratamos el grupo como un conjunto de símbolos con los que operamos siguiendo ciertas “reglas”. Es un simple juego simbólico. La representación de un grupo por medio de una serie de cadenas de símbolos sujetos a unas “reglas” o “relaciones” es muy común en teoría de Grupos. Tenéis una explicación rigurosa de esto en uno de los apéndices de los apuntes de la asignatura (apéndice E: “Grupos libres y presentaciones de grupos”). En las prácticas de laboratorio está previsto ver la definición de grupo libre y una aplicación de este concepto a la resolución del cubo de Rubik; sin embargo, la escasa duración (semestral) del curso no da para estudiar estos contenidos con más detalle.
• El grupo simétrico (o grupo de permutaciones) de un conjunto arbitrario $\Omega$ (denotado por $S_{\Omega}$) está formado por las aplicaciones biyectivas de $\Omega$ en $\Omega$ (también llamadas “permutaciones” de $\Omega$). La operación que lo dota de estructura de grupo es la composición de aplicaciones: para todo $f,g\in S_{\Omega}$, $f\cdot g$ se define como la biyección composición $g\circ f$. El elemento neutro es la aplicación identidad, y el elemento inverso de una permutación $f$ es su aplicación inversa $f^{-1}$. Si el conjunto $\Omega$ es el formado por los $n$ primeros números naturales, $S_{\Omega}$ se denota por $S_n$ y se denomina “grupo simétrico de grado n”. Su ORDEN es $n!$ (el número de biyecciones de un conjunto de $n$ elementos en sí mismo, o el número de permutaciones (sin repetición) de $n$ elementos). Hemos visto cómo se representa una permutación de $S_n$ y hemos visto la definición de “$k$-ciclo” y de “transposición” (2-ciclo).
• Si $K$ es un cuerpo cualquiera, el “grupo general lineal” sobre $K$ de grado $n$” se define como el grupo formado por las matrices cuadradas de orden $n$ invertibles con elementos en $K$, con la operación dada por el producto matricial.
• Para todo entero positivo $n\geq 2$, $(\mathbb{Z}_n,+)$ es también un grupo, donde $\mathbb{Z}_n$ es el conjunto de las clases de congruencia módulo $n$ (que ya visteis el curso pasado en Matemática Discreta). $(\mathbb{Z}_n\setminus \{0\}, \cdot)$ es un grupo si $n$ es un número primo; en caso contrario no lo es (de hecho, tal y como apuntaba un compañero vuestro con gran acierto, $\cdot$ no es ni tan siquiera una operación binaria en $\mathbb{Z}_n\setminus \{0\}$, pues hay elementos que, multiplicados, dan la clase del $0$ como resultado).

Hemos visto la noción de “grupos isomorfos”. Dos grupos $G$ y $H$ son “isomorfos” si existe una aplicación BIYECTIVA $f:G\rightarrow H$ entre ellos que “se comporta bien” con respecto a las operaciones de $G$ y $H$ (esto quiere decir que $f(ab)=f(a)f(b)$ para todo $a,b\in G$. Una aplicación $f$ de este estilo se denomina ISOMORFISMO. Cuando $G$ y $H$ son isomorfos, se representa por $G\cong H$. El hecho de que dos grupos sean isomorfos significa que, desde el punto de vista de la “estructura de grupo”, son esencialmente el mismo. Si son finitos, tienen la misma tabla de Cayley si “renombramos” los elementos convenientemente. Hemos visto que el grupo diédrico de orden 6, $D_6$, y el grupo simétrico de grado 3, $S_3$ son isomorfos.

Hemos definido la noción de “orden de un elemento”: dado un elemento $x$ de un grupo $G$, decimos que “$x$ tiene orden finito” si existe algún entero POSITIVO $k$ tal que $x^k=1$ (es decir, si $x$ “operado $k$ veces consigo mismo es igual al elemento neutro de $G$”). En tal caso, al mínimo $k$ con esta condición se le llama “orden de $x$” y se denota por $o(x)$. En el caso en el que todas las potencias $x^k$, con $k$ entero positivo, sean distintas del elemento neutro $1$, se dice que “$x$ tiene orden infinito”. Hemos visto varios ejemplos de cálculo de órdenes de elementos, tanto con notación multiplicativa como con notación aditiva (¡ojo con esto!).

Hemos probado que el orden de un $k$-ciclo es igual a $k$ y hemos visto el enunciado de un IMPORTANTE y básico teorema sobre órdenes de elementos, cuya demostración veremos durante la siguiente clase.

PODÉIS RESOLVER YA MISMO EL PRIMER PROBLEMA DE LA HOJA DE PROBLEMAS DEL CAPÍTULO 1:

Un hecho evidente que os puede ayudar a resolver este problema es el siguiente: un elemento $x$ satisface que $x^2=1$ si y sólo si $x=x^{-1}$ (es decir, $x$ coincide con su inverso). Para convencerse de este hecho ¡simplemente hay que tener delante la definición de inverso!