Hoy se ha probado un importante teorema relacionado con el orden de un elemento. En particular, para cualquier elemento $x$ de orden finito de un grupo $G$ se satisface lo siguiente:

• Si $m$ es cualquier entero, $x^m=1$ si y sólo si $o(x)$ divide a $m$.
• El elemento $x$ tiene EXACTAMENTE tantas potencias distintas como su orden: $1, x, x^2,\ldots, x^{o(x)-1}$. Cualquier potencia de $x^k$ puede “reducirse” a una de éstas. En efecto, aplicando el algoritmo de la división a $k$ y a $o(x)$ se tiene la existencia de dos enteros $q,r$ tales que $k=q\cdot o(x)+r$, siendo $0\leq r\leq o(x)-1$. Por tanto: $$x^k=x^{q o(x)+r}=(x^{o(x)})^q x^r=x^r.$$ Obsérvese que $x^r$ es un elemento de la lista anterior.
• Cualquier potencia $x^m$ (con $m$ entero) tiene orden finito y además, es fácilmente calculable: $$o(x^m)=\frac{o(x)}{mcd(o(x),m)}.$$

Para la prueba de este teorema hemos usado, como “truco” clave, el algoritmo de la división. También hemos visto que el orden del inverso de un elemento coincide con el orden del propio elemento.

Dados dos elementos $x,g$ pertenecientes a un grupo $G$, el “conjugado de $x$ con $g$” se define de la siguiente manera: $$x^g:=g^{-1}xg.$$

¡Ojo! No hay que confundir “conjugado” con “potencia”:

• Una “potencia” de un elemento $x$ es un elemento de la forma $x^n$ o $x^{-n}$, donde $n$ es un ENTERO no negativo. Cuando $n$ es positivo, $x^n$ representa el resultado de operar $x$ consigo mismo $n$ veces, y $x^{-n}$ representa el resultado de operar $x^{-1}$ (el inverso de $x$) consigo mismo $n$ veces. Cuando $n=0$, la potencia $x^n$ es igual a $1$ (por definición).
• Un “conjugado” de $x$ es un elemento de la forma $g^{-1}xg$, siendo $g$ otro elemento del del grupo. Se denota por $x^g$. Aquí EL “EXPONENTE” ES UN ELEMENTO DEL GRUPO, NO UN ENTERO.

En algunos libros el “conjugado de $x$ con $g$” se define como $g x g^{-1}$, en vez de como $g^{-1}xg$. Es una simple cuestión de nomenclatura.

Hemos probado que si un elemento tiene orden finito, todos sus conjugados tienen el mismo orden que él (es decir, el orden de un elemento se conserva por conjugación).

También hemos probado que si $a$ y $b$ tienen orden finito, los productos $ab$ y $ba$ también y, además, $o(ab)=o(ba)$. Además, SI $a$ Y $b$ CONMUTAN, $o(ab)$ divide al mínimo común múltiplo de $o(a)$ y $o(b)$; si, además de eso, $o(a)$ y $o(b)$ son coprimos, el orden de $ab$ es el producto de los órdenes: $o(a) o(b)$.

Se ha demostrado también que cualquier elemento de un grupo FINITO tiene orden finito. Sin embargo, existen grupos infinitos cuyos elementos tienen todos orden finito (véase el Problema B-2).

Hemos definido también el concepto de SUBGRUPO: un subconjunto $H$ de un grupo $G$ se dice que es un “subgrupo” de $G$ si es un grupo con la misma operación de $G$ restringida a $H$. Es el análogo (en el ambiente de “grupos”) al concepto de subespacio vectorial en Álgebra Lineal. Como primer ejemplo, hemos comentado que el grupo de los números enteros $\mathbb{Z}$ (con la suma) es un subgrupo del grupo de los números reales $\mathbb{R}$ (con la suma). Hemos leído el Teorema de Caracterización de Subgrupos, cuya demostración haremos en la próxima clase. Se trata de un criterio “práctico” que puede usarse para demostrar que un determinado subconjunto de un grupo es un subgrupo.

ACLARACIÓN RELACIONADA CON LAS POTENCIAS DE UN ELEMENTO: Cuando un grupo tenga notación aditiva, el resultado de operar $k$ veces un elemento $x$ consigo mismo se escribe como $kx$ (NO COMO $x^k$). Por ejemplo, si consideramos el grupo $(\mathbb{Z}_6,+)$, sabemos que todo elemento suyo tiene orden finito (pues se trata de un grupo finito). Elijamos, por ejemplo, el elemento $\overline{2}$. Veamos qué orden tiene:

• Como $\overline{2}$ es distinto de $\overline{0}$ (el neutro), tiene orden estrictamente mayor que $1$.
• Si operamos $\overline{2}$ consigo mismo dos veces obtenemos: $$2\overline{2}=\overline{2}+\overline{2}=\overline{4},$$ que sigue siendo distinto de $\overline{0}$ (el neutro). Por tanto, el orden de $\overline{2}$ no es $2$.
• Si operamos $\overline{2}$ consigo mismo 3 veces obtenemos: $$3\overline{2}=\overline{2}+\overline{2}+\overline{2}=\overline{6}=\overline{0}.$$

Por tanto, $o(\overline{2})=3$. Como consecuencia, EXISTEN EXACTAMENTE 3 “POTENCIAS” de $\overline{2}$ (entendiéndose aquí “potencia” como $k\overline{2}$, con $k$ entero): $$\overline{0}=0 \overline{2}, \; \overline{2}\; \mbox { y } \;2 \overline{2}=\overline{4}.$$ Cualquier otra “potencia” de $\overline{2}$ se “reduce” a una de éstas.

EJERCICIO PROPUESTO: Consideremos la permutación de $S_4$ dada por el $3$-ciclo $\sigma:=(1,2,3)$. Ya demostramos en la clase del martes que el orden de un ciclo coincide con su longitud. Por tanto, $o(\sigma)=3$. Así pues, $\sigma$ tiene exactamente 3 potencias, que son las siguientes: $$1_{S_4}=(1,2,3)^0,\; (1,2,3)\; \mbox{ y }\; (1,2,3)^2=(1,3,2)$$ (comprueba la última igualdad). ¿Cuál de estos elementos es $(1,2,3)^{-23}$?