En la clase de hoy hemos probado el Teorema de Caracterización de Subgrupos. Afirma lo siguiente: un subconjunto $H$ de un grupo $G$ es un subgrupo de $G$ si y sólo si

• El neutro de $G$ pertenece a $H$.
• $H$ es cerrado para la operación de $G$, es decir, $xy\in H$ para todo $x,y\in H$.
• $H$ es cerrado para la “toma de inversos”, es decir, $x^{-1}\in H$ para todo $x\in H$.

Además hemos probado otro criterio que consiste en UNA SOLA CONDICIÓN (previa constatación de que el subconjunto es no vacío). Dice lo siguiente: un subconjunto NO VACÍO $H$ de un grupo $G$ es un subgrupo de $G$ si y sólo si $xy^{-1}\in H$ para todo $x,y\in H$.

Hemos visto varios ejemplos de subgrupos. Uno de ellos es el “grupo especial lineal” de dimensión $n$ sobre un cuerpo $K$. Consiste en el conjunto de las matrices cuadradas con entradas en $K$ y con determinante igual a $1$ (con el producto matricial como operación). Se trata de un subgrupo de $GL(n,K)$ (el grupo general lineal).

Hemos demostrado que la intersección de una familia arbitraria de subgrupos es un subgrupo y, dado un subconjunto $X$ (no vacío) de un grupo $G$, hemos definido el “subgrupo generado por $X$” (denotado por $\langle X \rangle$) como la intersección de todos los subgrupos de $G$ que contienen a $X$ (o, dicho de otro modo, como el menor subgrupo de $G$ que contiene a $X$). Hemos demostrado que $\langle X \rangle$ está formado exactamente por los productos de la forma $x_1 x_2\cdots x_n$, donde $n$ es un número natural y, para todo $i$, $x_i$ es, o bien un elemento de $X$ o bien el inverso de un elemento de $X$.

Decimos que un grupo $G$ “está generado” por un subconjunto $X\subseteq G$ (no vacío) si $$G=\langle X \rangle$$ o, dicho de otro modo, si todo elemento de $G$ se puede expresar como producto de elementos de $X$ e inversos de elementos de $X$. Si un grupo admite un sistema finito de generadores se dice que “es finitamente generado”.

Hemos visto varios ejemplos de sistemas generadores de grupos. En particular, hemos visto que el grupo cuaternio de orden 8, $Q_8$, está generado por $i$ y $j$, es decir, $Q_8=\langle i,j\rangle$. También hemos visto que el grupo diédrico de orden $2n$, $D_{2n}$ (que es el grupo de simetrías de un $n$-ágono regular), está formado por $n$ rotaciones ($1, \rho, \rho^2,\ldots, \rho^{n-1}$) y $n$ reflexiones ($\tau, \tau\rho, \ldots, \tau \rho^{n-1}$), donde $\rho$ es la rotación con centro el polígono regular y ángulo $2\pi/n$, y $\tau$ es una de las reflexiones. La rotación $\rho$ tiene orden $n$ y TODAS las reflexiones tienen orden 2. Además, se satisface la condición $\rho\tau=\tau \rho^{-1}$ (y obsérvese que $\rho^{-1}=\rho^{n-1}$, pues $o(\rho)=n$).

PODÉIS RESOLVER YA el Problema 10 de la hoja de problemas del Capítulo 1:

Para los restantes problemas necesitamos avanzar un poco más en la materia.

También he comentado en clase que el enunciado del Ejercicio 1.10 es mejor cambiarlo por el siguiente:

Si $G$ es un grupo y $a,b\in G$ entonces:

• Si $a$ tiene orden finito entonces $a^{-1}$ también tiene orden finito y $o(a^{-1})=o(a)$.
• Si $ab$ tiene orden finito entonces $ba$ también tiene orden finito y $o(ab)=o(ba)$.

La solución que hay escrita es válida. El motivo del cambio es que es posible que $a$ y $b$ tengan orden finito y, sin embargo, $ab$ tenga orden infinito. El enunciado anterior, interpretado correctamente, estaba bien; sin embargo, creo que está todo más claro si lo cambiamos por éste.