Hoy hemos corregido el problema número 10 de la hoja de problemas del Tema 1. También hemos definido el concepto de grupo cíclico. Lo recordamos: un grupo $G$ se dice que es cíclico si puede ser generado por un solo elemento, es decir, si existe un elemento $g\in G$ tal que $G=\langle g \rangle$. Dicho de otro modo, si $G$ es el conjunto de todas las potencias de $g$: $G=\{g^k\mid k\in \mathbb{Z}\}$. Hemos visto varios ejemplos de grupos cíclicos. Recordemos algunos:

• $(\mathbb{Z},+)$ es cíclico, ya que $\mathbb{Z}=\langle 1 \rangle$. En efecto, todo número entero puede expresarse como un producto de $1$’s y su “inverso” (que es $-1$, en este caso, y suele llamarse “opuesto” al usarse notación aditiva). Veamos porqué es así:
  • Si $n=0$ entonces $0=0\cdot 1\in \langle 1 \rangle$ (sería el análogo a “1” elevado a “cero”, pero usando notación aditiva).
  • Si $n>0$ entonces $n=1+1+\cdots 1$ ($n$ veces), es decir $n=n\; 1\in \langle 1 \rangle$ (sería el análogo a “1” elevado a “$n$”, pero usando notación aditiva).
  • Si $n<0$ entonces $n=(-1)+(-1)+\cdots+(-1)$ ($-n$ veces), es decir, $n=(-n)(-1)\in \langle 1 \rangle$ (sería el análogo a tomar el “inverso de 1” elevado a “$-n$”, pero usando notación aditiva).
• $(\mathbb{Z}_n,+)$ también es cíclico, ya que está generado por la clase del $1$, es decir, $\mathbb{Z}_n=\langle \overline{1}\rangle$. En efecto, cualquier elemento de $\mathbb{Z}_n$ es de la forma $\overline{m}$, con $0\leq m\leq n-1$. Y está claro que $\overline{m}=\overline{1}+\cdots+\overline{1}$ ($m$ veces), o expresado de otro modo, $\overline{m}=m\overline{1}\in \langle \overline{1}\rangle$.

De hecho, veremos más adelante que los ejemplos anteriores son, esencialmente, TODOS los grupos cíclicos que hay. Dicho de manera más precisa: si $G$ es un grupo cíclico se cumple lo siguiente:

• Si $G$ es infinito entonces $G$ es isomorfo a $\mathbb{Z}$ (con la suma).
• Si $G$ es finito entonces $G$ es isomorfo a $\mathbb{Z}_n$ (con la suma), donde $n$ es el orden de $G$.

La pregunta natural que surge ahora (y que estoy seguro que todas/os os habéis hecho después de ver la definición de grupo cíclico 🙂 ) es la siguiente: los subgrupos de un grupo cíclico, ¿son también cíclicos? Hemos demostrado que es así. El enunciado preciso del teorema es el siguiente:

Teorema. Todo subgrupo de un grupo cíclico también es cíclico.

Recordemos la demostración. En clase he tratado de hacerla algo más detallada que la que hay en los apuntes, pero trataré todavía de estructurarla y detallarla más aquí (para ayudaros a entenderla mejor).

Sea $G$ un grupo cíclico y sea $H$ un subgrupo de $G$. Como $G$ es cíclico, podrá ser generado por un solo elemento, es decir, existe un elemento $g\in G$ tal que $G=\langle g \rangle$. El objetivo es probar que $H$ también es cíclico, es decir, que puede ser generado por un solo elemento.

Si $H=\{1_G\}$ entonces $H$ es obviamente cíclico, pues $H=\langle 1_G\rangle$.

Supongamos ahora que $H\neq \{1_G\}$. Para demostrar que $H$ es cíclico procederemos de la siguiente manera:

(1) Primero probaremos que el conjunto $A:=\{s\in \mathbb{N}\mid g^s\in H\}$ es no vacío.

(2) Como $A$ es un subconjunto no vacío del conjunto de los números naturales, tiene mínimo (por el buen orden de $\mathbb{N}$). Denotemos por $n$ a dicho mínimo.

(3) Probaremos que $H$ está generado por $g^n$, es decir, que $H=\langle g^n\rangle$.

Vamos a ello.

Empecemos por el paso (1): Como $H\neq \{1_G\}$, existe un elemento $x\in H$ tal que $x\neq 1_G$. Como $x\in H\leq G=\langle g \rangle$, $x$ se podrá expresar en forma de potencia de $g$, es decir, existe $s\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}$ tal que $x=g^s$ (nótese que $s\neq 0$ porque $x\neq 1$). Ahora distinguimos dos casos:

• Caso 1: $s$ es positivo. En este caso, $s\in A$ y, por tanto, $A\neq \emptyset$.
• Caso 2: $s$ es negativo. En este caso, $g^{-s}=(g^{s})^{-1}=x^{-1}\in H$ porque $x\in H$ y $H$ es un subgrupo. Luego $-s\in A$.

En cualquiera de los dos casos, hemos encontrado un elemento en $A$. Por tanto, concluimos que $A$ es no vacío. Ya tenemos el paso (1).

En el paso (2), simplemente hay que tomar $n:=\min(A)$.

Veamos ahora el paso (3). La inclusión $\langle g^n\rangle \subseteq H$ es obvia, puesto que $g^n$ pertenece a $H$ y, así, todas sus potencias también pertenecerán a $H$. Veamos la inclusión contraria. Para ello, escojamos un elemento arbitrario $h$ de $H$ y probemos que $h$ puede expresarse como una potencia de $g^n$:

Como $h\in H\leq G=\langle g \rangle$, $h$ podrá expresarse como una potencia de $g$, es decir, existe un entero $m$ tal que $x=g^m$.

Aplicando el Algoritmo de la División a $m$ y a $n$, existen dos enteros $q$ y $r$ tales que $0\leq r<n$ y $m=nq+r$. Por tanto: $$h=g^m=g^{nq+r}=(g^n)^q g^r.$$ Multiplicando a ambos lados por el inverso de $(g^n)^q$ (es decir, por $(g^n)^{-q}$) se obtiene que $$g^r=(g^n)^{-q} h.$$

Y aquí está el punto clave: como $g^n$ pertenece a $H$ (recuérdese que $n$ es el mínimo de $A$), cualquier potencia suya también pertenecerá a $H$ (en particular, $(g^n)^{-q}$). Por tanto, en el miembro de la derecha de la igualdad anterior tenemos un producto de dos elementos de $H$. Como $H$ es subgrupo, dicho producto debe pertenecer a $H$. Concluimos, por tanto que $g^r$ (el miembro de la izquierda) pertenece a $H$. Pero esto implica que $r$ ha de ser igual a $0$ porque, si fuera estrictamente positivo, ¡$r$ pertenecería a $A$, y esto es contradictorio con el hecho de que $r<n$ y $n=\min(A)$!

Y esto permite finalizar la prueba puesto que, como $r=0$, se tiene que $h=(g^n)^q\in \langle g^n\rangle$ (pues $h$ es una potencia de $g^n$).