Hemos comenzado la clase recordando un importante teorema que nos indica cuál es la estructura de los grupos cíclicos finitos. En particular, un grupo cíclico finito tiene un único subgrupo de orden $k$ para cada divisor $k$ del orden del grupo (y estos son exactamente sus subgrupos). Hemos visto, como ejemplo, todos los subgrupos de $\mathbb{Z}_6$; aquí lo “engorroso” es pasar de notación multiplicativa a notación aditiva, pero resulta muy fácil si se va con un poco de cuidado.

Hemos comenzado la sección sobre el Teorema de Lagrange. Hemos comenzado con un lema técnico, de demostración muy sencilla, pero que nos va a facilitar bastante la escritura de las demostraciones.

Después hemos definido el concepto de clases a derecha y a izquierda de un elemento módulo un subgrupo $H$ de un grupo $G$. Hemos visto que el conjunto de las clases a derecha forman una partición del grupo (análogamente con las clases a izquierda). También hemos visto que el cardinal del conjunto de las clases a izquierda coincide con el de las clases a derecha estableciendo una biyección entre ambos conjuntos. Esta biyección asigna, a cada clase a izquierda $xH$, la clase a derecha $Hx^{-1}$.

Si el conjunto de clases a izquierda (o a derecha) de un grupo $G$ módulo un subgrupo $H$ es finito, hemos definido el “índice de $H$ en $G$”, o “índice según $G$ de $H$”, como el número de tales clases. Se denota por $|G:H|$.

El objetivo del próximo lunes será enunciar y probar el Teorema de Lagrange, así como algunas consecuencias importantes. El Teorema de Lagrange afirma que, si $G$ es un grupo finito y $H$ es un subgrupo suyo entonces $$|G|=|H||G:H|.$$ En particular, el orden de todo subgrupo de $G$ debe ser necesariamente un divisor del orden de $G$. Por ejemplo, un grupo de orden $15$ puede tener subgrupos de ordenes $1$, $3$, $5$ y $15$, pero no puede tener subgrupos de orden $4$.

Con el objetivo de clarificar el concepto de clase a izquierda y a derecha módulo un subgrupo, vamos a incluir aquí un ejemplo (no mencionado en clase). Supongamos que $G$ es el grupo cuaternio de orden 8, $Q_8$, es decir, $$G=\{1, -1, i, -i-, j, -j, k, -k\}.$$

Vamos a considerar el subgrupo de $G$ generado por $i$, es decir, el subgrupo cíclico $$H:=\langle i \rangle.$$ Recordad que $i^2=-1$, $i^3=-i$ y $i^4=1$. Por tanto, $i$ es un elemento de orden 4. Así pues, por el teorema de estructura de los grupos cíclicos, se tiene que $$H=\{1,i,-1,-i\}.$$

Se trata, por tanto, de un subgrupo de orden 4. Aunque no lo hemos probado todavía, vamos a aplicar aquí el Teorema de Lagrange para conocer su índice en $G$. Por este teorema: $$|G|=|H||G:H|,$$

es decir: $8=4\cdot |G:H|$. Así pues, el índice de $H$ en $G$, $|G:H|$, es igual a 2. Esto significa que existen 2 clases a izquierda de $G$ módulo $H$ (y dos clases a derecha también). Veamos cuáles son las clases a izquierda. Sabemos que forman una PARTICIÓN de $G$. Una de las clases es, por supuesto, la clase del neutro (del $1$), que es $1H=H$. Por tanto, ya tenemos una clase: $$H=\{1, i, -1, -i\}.$$

Escojamos ahora un elemento que no esté en esta clase, como por ejemplo $j$, y calculemos la clase de $j$: $$jH=\{jh\mid h\in H\}=\{j\cdot 1, j \cdot i, j\cdot (-1), j\cdot (-i)\}=\{j, -k, -j,k\}.$$

Como, tal y como hemos visto, solo hay dos clases a izquierda (pues el índice era 2), ya las tenemos todas. Son las siguientes: $$H=\{1, i, -1, -i\}\;\;\mbox{ y }\;\;\; jH=\{j, -k, -j,k\}.$$

Obsérvese que, tal y como hemos mencionado en clase, se trata de clases de equivalencia. Las clases de $1, i, -1$ y $-i$ coinciden y son iguales a $H$, es decir, $$1H=iH=(-1)H=(-i)H=H.$$ También, las clases de $j$, $-k$, $-j$ y $k$ coinciden, es decir, $$jH=(-k)H=(-j)H=kH.$$

Obsérvese que el conjunto de las clases a izquierda de $G=Q_8$ módulo $H$, $\{H, jH\}$, constituye una partición de $G$.

Veamos ahora otro ejemplo. Sigamos con el mismo grupo $G=Q_8$ y consideremos el subgrupo $N$ generado por $-1$, es decir, $N:=\langle -1\rangle=\{1, -1\}$ (observad que $-1$ tiene orden 2 y, por tanto, $N$ posee solo dos elementos: $(-1)^0=1$ y $(-1)^1=-1$). Vamos a calcular, igual que antes, el índice de $N$ en $G$, usando el Teorema de Lagrange: $$|G|=|N||G:N|.$$

Por tanto: $8=2\cdot |G:N|$. Luego $|G:N|=4$. Así pues, existen 4 clases a izquierda de $G$ módulo $N$. Veamos cuáles son:

• Tenemos la clase del $1$, es decir, $1N=N=\{1, -1\}$.
• Elegimos un elemento que no esté en la clase anterior; por ejemplo, $i$. Calculemos la clase de $i$: $$iN=\{in\mid n\in N\}=\{i\cdot 1, i\cdot (-1)\}=\{i, -i\}.$$
• Elegimos un elemento de $G$ que no esté en ninguna de las clases anteriores; por ejemplo, $j$. Calculemos la clase de $j$: $$jN=\{jn\mid n\in N\}=\{j, -j\}.$$
• Elegimos un elemento de $G$ que no esté en ninguna de las clases anteriores; por ejemplo, $k$. Calculemos la clase de $k$: $$kN=\{kn\mid n\in N\}=\{k, -k\}.$$

Ya tenemos las 4 clases. Observamos que el conjunto de estas cuatro clases a izquierda forman una partición de $G$.

Si reproducís los cálculos anteriores para clases a derecha, observaréis que la clase a izquierda y a derecha módulo $H$ de cualquier elemento $x$ de $G$ coinciden (y lo mismo pasa con las clases módulo $N$), a pesar de que el grupo $G$ no es abeliano. ¡Ojo! Esto no pasa siempre. Cuando esto pasa (es decir, cuando las clases a izquierda y a derecha módulo un subgrupo coinciden) se dice que ese subgrupo es normal (y $Q_8$ tiene la peculiaridad de que todos sus subgrupos son normales, a pesar de no ser un grupo abeliano). Este concepto de subgrupo normal es muy importante y lo estudiaremos en la sección siguiente.