Hoy hemos corregido el problema número 10 de la hoja de problemas del Tema 1. También hemos definido el concepto de grupo cíclico. Lo recordamos: un grupo $G$ se dice que es cíclico si puede ser generado por un solo elemento, es decir, si existe un elemento $g\in G$ tal que $G=\langle g \rangle$. Dicho de otro modo, si $G$ es el conjunto de todas las potencias de $g$: $G=\{g^k\mid k\in \mathbb{Z}\}$. Hemos visto varios ejemplos de grupos cíclicos. Recordemos algunos:

• $(\mathbb{Z},+)$ es cíclico, ya que $\mathbb{Z}=\langle 1 \rangle$. En efecto, todo número entero puede expresarse como un producto de $1$’s y su “inverso” (que es $-1$, en este caso, y suele llamarse “opuesto” al usarse notación aditiva). Veamos porqué es así:
  • Si $n=0$ entonces $0=0\cdot 1\in \langle 1 \rangle$ (sería el análogo a “1” elevado a “cero”, pero usando notación aditiva).
  • Si $n>0$ entonces $n=1+1+\cdots 1$ ($n$ veces), es decir $n=n\; 1\in \langle 1 \rangle$ (sería el análogo a “1” elevado a “$n$”, pero usando notación aditiva).
  • Si $n<0$ entonces $n=(-1)+(-1)+\cdots+(-1)$ ($-n$ veces), es decir, $n=(-n)(-1)\in \langle 1 \rangle$ (sería el análogo a tomar el “inverso de 1” elevado a “$-n$”, pero usando notación aditiva).
• $(\mathbb{Z}_n,+)$ también es cíclico, ya que está generado por la clase del $1$, es decir, $\mathbb{Z}_n=\langle \overline{1}\rangle$. En efecto, cualquier elemento de $\mathbb{Z}_n$ es de la forma $\overline{m}$, con $0\leq m\leq n-1$. Y está claro que $\overline{m}=\overline{1}+\cdots+\overline{1}$ ($m$ veces), o expresado de otro modo, $\overline{m}=m\overline{1}\in \langle \overline{1}\rangle$.

De hecho, veremos más adelante que los ejemplos anteriores son, esencialmente, TODOS los grupos cíclicos que hay. Dicho de manera más precisa: si $G$ es un grupo cíclico se cumple lo siguiente:

• Si $G$ es infinito entonces $G$ es isomorfo a $\mathbb{Z}$ (con la suma).
• Si $G$ es finito entonces $G$ es isomorfo a $\mathbb{Z}_n$ (con la suma), donde $n$ es el orden de $G$.

La pregunta natural que surge ahora (y que estoy seguro que todas/os os habéis hecho después de ver la definición de grupo cíclico 🙂 ) es la siguiente: los subgrupos de un grupo cíclico, ¿son también cíclicos? Hemos demostrado que es así. El enunciado preciso del teorema es el siguiente:

Teorema. Todo subgrupo de un grupo cíclico también es cíclico.

Recordemos la demostración. En clase he tratado de hacerla algo más detallada que la que hay en los apuntes, pero trataré todavía de estructurarla y detallarla más aquí (para ayudaros a entenderla mejor).

Sea $G$ un grupo cíclico y sea $H$ un subgrupo de $G$. Como $G$ es cíclico, podrá ser generado por un solo elemento, es decir, existe un elemento $g\in G$ tal que $G=\langle g \rangle$. El objetivo es probar que $H$ también es cíclico, es decir, que puede ser generado por un solo elemento.

Si $H=\{1_G\}$ entonces $H$ es obviamente cíclico, pues $H=\langle 1_G\rangle$.

Supongamos ahora que $H\neq \{1_G\}$. Para demostrar que $H$ es cíclico procederemos de la siguiente manera:

(1) Primero probaremos que el conjunto $A:=\{s\in \mathbb{N}\mid g^s\in H\}$ es no vacío.

(2) Como $A$ es un subconjunto no vacío del conjunto de los números naturales, tiene mínimo (por el buen orden de $\mathbb{N}$). Denotemos por $n$ a dicho mínimo.

(3) Probaremos que $H$ está generado por $g^n$, es decir, que $H=\langle g^n\rangle$.

Vamos a ello.

Empecemos por el paso (1): Como $H\neq \{1_G\}$, existe un elemento $x\in H$ tal que $x\neq 1_G$. Como $x\in H\leq G=\langle g \rangle$, $x$ se podrá expresar en forma de potencia de $g$, es decir, existe $s\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}$ tal que $x=g^s$ (nótese que $s\neq 0$ porque $x\neq 1$). Ahora distinguimos dos casos:

• Caso 1: $s$ es positivo. En este caso, $s\in A$ y, por tanto, $A\neq \emptyset$.
• Caso 2: $s$ es negativo. En este caso, $g^{-s}=(g^{s})^{-1}=x^{-1}\in H$ porque $x\in H$ y $H$ es un subgrupo. Luego $-s\in A$.

En cualquiera de los dos casos, hemos encontrado un elemento en $A$. Por tanto, concluimos que $A$ es no vacío. Ya tenemos el paso (1).

En el paso (2), simplemente hay que tomar $n:=\min(A)$.

Veamos ahora el paso (3). La inclusión $\langle g^n\rangle \subseteq H$ es obvia, puesto que $g^n$ pertenece a $H$ y, así, todas sus potencias también pertenecerán a $H$. Veamos la inclusión contraria. Para ello, escojamos un elemento arbitrario $h$ de $H$ y probemos que $h$ puede expresarse como una potencia de $g^n$:

Como $h\in H\leq G=\langle g \rangle$, $h$ podrá expresarse como una potencia de $g$, es decir, existe un entero $m$ tal que $x=g^m$.

Aplicando el Algoritmo de la División a $m$ y a $n$, existen dos enteros $q$ y $r$ tales que $0\leq r<n$ y $m=nq+r$. Por tanto: $$h=g^m=g^{nq+r}=(g^n)^q g^r.$$ Multiplicando a ambos lados por el inverso de $(g^n)^q$ (es decir, por $(g^n)^{-q}$) se obtiene que $$g^r=(g^n)^{-q} h.$$

Y aquí está el punto clave: como $g^n$ pertenece a $H$ (recuérdese que $n$ es el mínimo de $A$), cualquier potencia suya también pertenecerá a $H$ (en particular, $(g^n)^{-q}$). Por tanto, en el miembro de la derecha de la igualdad anterior tenemos un producto de dos elementos de $H$. Como $H$ es subgrupo, dicho producto debe pertenecer a $H$. Concluimos, por tanto que $g^r$ (el miembro de la izquierda) pertenece a $H$. Pero esto implica que $r$ ha de ser igual a $0$ porque, si fuera estrictamente positivo, ¡$r$ pertenecería a $A$, y esto es contradictorio con el hecho de que $r<n$ y $n=\min(A)$!

Y esto permite finalizar la prueba puesto que, como $r=0$, se tiene que $h=(g^n)^q\in \langle g^n\rangle$ (pues $h$ es una potencia de $g^n$).

En la clase de hoy hemos probado el Teorema de Caracterización de Subgrupos. Afirma lo siguiente: un subconjunto $H$ de un grupo $G$ es un subgrupo de $G$ si y sólo si

• El neutro de $G$ pertenece a $H$.
• $H$ es cerrado para la operación de $G$, es decir, $xy\in H$ para todo $x,y\in H$.
• $H$ es cerrado para la “toma de inversos”, es decir, $x^{-1}\in H$ para todo $x\in H$.

Además hemos probado otro criterio que consiste en UNA SOLA CONDICIÓN (previa constatación de que el subconjunto es no vacío). Dice lo siguiente: un subconjunto NO VACÍO $H$ de un grupo $G$ es un subgrupo de $G$ si y sólo si $xy^{-1}\in H$ para todo $x,y\in H$.

Hemos visto varios ejemplos de subgrupos. Uno de ellos es el “grupo especial lineal” de dimensión $n$ sobre un cuerpo $K$. Consiste en el conjunto de las matrices cuadradas con entradas en $K$ y con determinante igual a $1$ (con el producto matricial como operación). Se trata de un subgrupo de $GL(n,K)$ (el grupo general lineal).

Hemos demostrado que la intersección de una familia arbitraria de subgrupos es un subgrupo y, dado un subconjunto $X$ (no vacío) de un grupo $G$, hemos definido el “subgrupo generado por $X$” (denotado por $\langle X \rangle$) como la intersección de todos los subgrupos de $G$ que contienen a $X$ (o, dicho de otro modo, como el menor subgrupo de $G$ que contiene a $X$). Hemos demostrado que $\langle X \rangle$ está formado exactamente por los productos de la forma $x_1 x_2\cdots x_n$, donde $n$ es un número natural y, para todo $i$, $x_i$ es, o bien un elemento de $X$ o bien el inverso de un elemento de $X$.

Decimos que un grupo $G$ “está generado” por un subconjunto $X\subseteq G$ (no vacío) si $$G=\langle X \rangle$$ o, dicho de otro modo, si todo elemento de $G$ se puede expresar como producto de elementos de $X$ e inversos de elementos de $X$. Si un grupo admite un sistema finito de generadores se dice que “es finitamente generado”.

Hemos visto varios ejemplos de sistemas generadores de grupos. En particular, hemos visto que el grupo cuaternio de orden 8, $Q_8$, está generado por $i$ y $j$, es decir, $Q_8=\langle i,j\rangle$. También hemos visto que el grupo diédrico de orden $2n$, $D_{2n}$ (que es el grupo de simetrías de un $n$-ágono regular), está formado por $n$ rotaciones ($1, \rho, \rho^2,\ldots, \rho^{n-1}$) y $n$ reflexiones ($\tau, \tau\rho, \ldots, \tau \rho^{n-1}$), donde $\rho$ es la rotación con centro el polígono regular y ángulo $2\pi/n$, y $\tau$ es una de las reflexiones. La rotación $\rho$ tiene orden $n$ y TODAS las reflexiones tienen orden 2. Además, se satisface la condición $\rho\tau=\tau \rho^{-1}$ (y obsérvese que $\rho^{-1}=\rho^{n-1}$, pues $o(\rho)=n$).

PODÉIS RESOLVER YA el Problema 10 de la hoja de problemas del Capítulo 1:

Para los restantes problemas necesitamos avanzar un poco más en la materia.

También he comentado en clase que el enunciado del Ejercicio 1.10 es mejor cambiarlo por el siguiente:

Si $G$ es un grupo y $a,b\in G$ entonces:

• Si $a$ tiene orden finito entonces $a^{-1}$ también tiene orden finito y $o(a^{-1})=o(a)$.
• Si $ab$ tiene orden finito entonces $ba$ también tiene orden finito y $o(ab)=o(ba)$.

La solución que hay escrita es válida. El motivo del cambio es que es posible que $a$ y $b$ tengan orden finito y, sin embargo, $ab$ tenga orden infinito. El enunciado anterior, interpretado correctamente, estaba bien; sin embargo, creo que está todo más claro si lo cambiamos por éste.

Hoy se ha probado un importante teorema relacionado con el orden de un elemento. En particular, para cualquier elemento $x$ de orden finito de un grupo $G$ se satisface lo siguiente:

• Si $m$ es cualquier entero, $x^m=1$ si y sólo si $o(x)$ divide a $m$.
• El elemento $x$ tiene EXACTAMENTE tantas potencias distintas como su orden: $1, x, x^2,\ldots, x^{o(x)-1}$. Cualquier potencia de $x^k$ puede “reducirse” a una de éstas. En efecto, aplicando el algoritmo de la división a $k$ y a $o(x)$ se tiene la existencia de dos enteros $q,r$ tales que $k=q\cdot o(x)+r$, siendo $0\leq r\leq o(x)-1$. Por tanto: $$x^k=x^{q o(x)+r}=(x^{o(x)})^q x^r=x^r.$$ Obsérvese que $x^r$ es un elemento de la lista anterior.
• Cualquier potencia $x^m$ (con $m$ entero) tiene orden finito y además, es fácilmente calculable: $$o(x^m)=\frac{o(x)}{mcd(o(x),m)}.$$

Para la prueba de este teorema hemos usado, como “truco” clave, el algoritmo de la división. También hemos visto que el orden del inverso de un elemento coincide con el orden del propio elemento.

Dados dos elementos $x,g$ pertenecientes a un grupo $G$, el “conjugado de $x$ con $g$” se define de la siguiente manera: $$x^g:=g^{-1}xg.$$

¡Ojo! No hay que confundir “conjugado” con “potencia”:

• Una “potencia” de un elemento $x$ es un elemento de la forma $x^n$ o $x^{-n}$, donde $n$ es un ENTERO no negativo. Cuando $n$ es positivo, $x^n$ representa el resultado de operar $x$ consigo mismo $n$ veces, y $x^{-n}$ representa el resultado de operar $x^{-1}$ (el inverso de $x$) consigo mismo $n$ veces. Cuando $n=0$, la potencia $x^n$ es igual a $1$ (por definición).
• Un “conjugado” de $x$ es un elemento de la forma $g^{-1}xg$, siendo $g$ otro elemento del del grupo. Se denota por $x^g$. Aquí EL “EXPONENTE” ES UN ELEMENTO DEL GRUPO, NO UN ENTERO.

En algunos libros el “conjugado de $x$ con $g$” se define como $g x g^{-1}$, en vez de como $g^{-1}xg$. Es una simple cuestión de nomenclatura.

Hemos probado que si un elemento tiene orden finito, todos sus conjugados tienen el mismo orden que él (es decir, el orden de un elemento se conserva por conjugación).

También hemos probado que si $a$ y $b$ tienen orden finito, los productos $ab$ y $ba$ también y, además, $o(ab)=o(ba)$. Además, SI $a$ Y $b$ CONMUTAN, $o(ab)$ divide al mínimo común múltiplo de $o(a)$ y $o(b)$; si, además de eso, $o(a)$ y $o(b)$ son coprimos, el orden de $ab$ es el producto de los órdenes: $o(a) o(b)$.

Se ha demostrado también que cualquier elemento de un grupo FINITO tiene orden finito. Sin embargo, existen grupos infinitos cuyos elementos tienen todos orden finito (véase el Problema B-2).

Hemos definido también el concepto de SUBGRUPO: un subconjunto $H$ de un grupo $G$ se dice que es un “subgrupo” de $G$ si es un grupo con la misma operación de $G$ restringida a $H$. Es el análogo (en el ambiente de “grupos”) al concepto de subespacio vectorial en Álgebra Lineal. Como primer ejemplo, hemos comentado que el grupo de los números enteros $\mathbb{Z}$ (con la suma) es un subgrupo del grupo de los números reales $\mathbb{R}$ (con la suma). Hemos leído el Teorema de Caracterización de Subgrupos, cuya demostración haremos en la próxima clase. Se trata de un criterio “práctico” que puede usarse para demostrar que un determinado subconjunto de un grupo es un subgrupo.

ACLARACIÓN RELACIONADA CON LAS POTENCIAS DE UN ELEMENTO: Cuando un grupo tenga notación aditiva, el resultado de operar $k$ veces un elemento $x$ consigo mismo se escribe como $kx$ (NO COMO $x^k$). Por ejemplo, si consideramos el grupo $(\mathbb{Z}_6,+)$, sabemos que todo elemento suyo tiene orden finito (pues se trata de un grupo finito). Elijamos, por ejemplo, el elemento $\overline{2}$. Veamos qué orden tiene:

• Como $\overline{2}$ es distinto de $\overline{0}$ (el neutro), tiene orden estrictamente mayor que $1$.
• Si operamos $\overline{2}$ consigo mismo dos veces obtenemos: $$2\overline{2}=\overline{2}+\overline{2}=\overline{4},$$ que sigue siendo distinto de $\overline{0}$ (el neutro). Por tanto, el orden de $\overline{2}$ no es $2$.
• Si operamos $\overline{2}$ consigo mismo 3 veces obtenemos: $$3\overline{2}=\overline{2}+\overline{2}+\overline{2}=\overline{6}=\overline{0}.$$

Por tanto, $o(\overline{2})=3$. Como consecuencia, EXISTEN EXACTAMENTE 3 “POTENCIAS” de $\overline{2}$ (entendiéndose aquí “potencia” como $k\overline{2}$, con $k$ entero): $$\overline{0}=0 \overline{2}, \; \overline{2}\; \mbox { y } \;2 \overline{2}=\overline{4}.$$ Cualquier otra “potencia” de $\overline{2}$ se “reduce” a una de éstas.

EJERCICIO PROPUESTO: Consideremos la permutación de $S_4$ dada por el $3$-ciclo $\sigma:=(1,2,3)$. Ya demostramos en la clase del martes que el orden de un ciclo coincide con su longitud. Por tanto, $o(\sigma)=3$. Así pues, $\sigma$ tiene exactamente 3 potencias, que son las siguientes: $$1_{S_4}=(1,2,3)^0,\; (1,2,3)\; \mbox{ y }\; (1,2,3)^2=(1,3,2)$$ (comprueba la última igualdad). ¿Cuál de estos elementos es $(1,2,3)^{-23}$?

Hoy hemos continuado viendo ejemplos remarcables de grupos:

• El grupo diédrico de orden 2n (denotado por $D_{2n}$) es el grupo de simetrías de un polígono regular de n lados (para n mayor o igual que 3). Está formado por n rotaciones (de ángulos $2k\pi/n$, para $k=0,1,\ldots,n-1$; la rotación de ángulo $0$ es la identidad) y $n$ reflexiones.
• El grupo cuaternio de orden 8 (denotado por $Q_8$) está formado por $8$ elementos, $\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k$, sujetos a unas “reglas” muy sencillas. Aunque es un grupo formado por matrices, las “reglas” sencillas vistas en clase permiten obtener la tabla de Cayley del grupo y, por tanto, describirlo perfectamente. De esta manera, tratamos el grupo como un conjunto de símbolos con los que operamos siguiendo ciertas “reglas”. Es un simple juego simbólico. La representación de un grupo por medio de una serie de cadenas de símbolos sujetos a unas “reglas” o “relaciones” es muy común en teoría de Grupos. Tenéis una explicación rigurosa de esto en uno de los apéndices de los apuntes de la asignatura (apéndice E: “Grupos libres y presentaciones de grupos”). En las prácticas de laboratorio está previsto ver la definición de grupo libre y una aplicación de este concepto a la resolución del cubo de Rubik; sin embargo, la escasa duración (semestral) del curso no da para estudiar estos contenidos con más detalle.
• El grupo simétrico (o grupo de permutaciones) de un conjunto arbitrario $\Omega$ (denotado por $S_{\Omega}$) está formado por las aplicaciones biyectivas de $\Omega$ en $\Omega$ (también llamadas “permutaciones” de $\Omega$). La operación que lo dota de estructura de grupo es la composición de aplicaciones: para todo $f,g\in S_{\Omega}$, $f\cdot g$ se define como la biyección composición $g\circ f$. El elemento neutro es la aplicación identidad, y el elemento inverso de una permutación $f$ es su aplicación inversa $f^{-1}$. Si el conjunto $\Omega$ es el formado por los $n$ primeros números naturales, $S_{\Omega}$ se denota por $S_n$ y se denomina “grupo simétrico de grado n”. Su ORDEN es $n!$ (el número de biyecciones de un conjunto de $n$ elementos en sí mismo, o el número de permutaciones (sin repetición) de $n$ elementos). Hemos visto cómo se representa una permutación de $S_n$ y hemos visto la definición de “$k$-ciclo” y de “transposición” (2-ciclo).
• Si $K$ es un cuerpo cualquiera, el “grupo general lineal” sobre $K$ de grado $n$” se define como el grupo formado por las matrices cuadradas de orden $n$ invertibles con elementos en $K$, con la operación dada por el producto matricial.
• Para todo entero positivo $n\geq 2$, $(\mathbb{Z}_n,+)$ es también un grupo, donde $\mathbb{Z}_n$ es el conjunto de las clases de congruencia módulo $n$ (que ya visteis el curso pasado en Matemática Discreta). $(\mathbb{Z}_n\setminus \{0\}, \cdot)$ es un grupo si $n$ es un número primo; en caso contrario no lo es (de hecho, tal y como apuntaba un compañero vuestro con gran acierto, $\cdot$ no es ni tan siquiera una operación binaria en $\mathbb{Z}_n\setminus \{0\}$, pues hay elementos que, multiplicados, dan la clase del $0$ como resultado).

Hemos visto la noción de “grupos isomorfos”. Dos grupos $G$ y $H$ son “isomorfos” si existe una aplicación BIYECTIVA $f:G\rightarrow H$ entre ellos que “se comporta bien” con respecto a las operaciones de $G$ y $H$ (esto quiere decir que $f(ab)=f(a)f(b)$ para todo $a,b\in G$. Una aplicación $f$ de este estilo se denomina ISOMORFISMO. Cuando $G$ y $H$ son isomorfos, se representa por $G\cong H$. El hecho de que dos grupos sean isomorfos significa que, desde el punto de vista de la “estructura de grupo”, son esencialmente el mismo. Si son finitos, tienen la misma tabla de Cayley si “renombramos” los elementos convenientemente. Hemos visto que el grupo diédrico de orden 6, $D_6$, y el grupo simétrico de grado 3, $S_3$ son isomorfos.

Hemos definido la noción de “orden de un elemento”: dado un elemento $x$ de un grupo $G$, decimos que “$x$ tiene orden finito” si existe algún entero POSITIVO $k$ tal que $x^k=1$ (es decir, si $x$ “operado $k$ veces consigo mismo es igual al elemento neutro de $G$”). En tal caso, al mínimo $k$ con esta condición se le llama “orden de $x$” y se denota por $o(x)$. En el caso en el que todas las potencias $x^k$, con $k$ entero positivo, sean distintas del elemento neutro $1$, se dice que “$x$ tiene orden infinito”. Hemos visto varios ejemplos de cálculo de órdenes de elementos, tanto con notación multiplicativa como con notación aditiva (¡ojo con esto!).

Hemos probado que el orden de un $k$-ciclo es igual a $k$ y hemos visto el enunciado de un IMPORTANTE y básico teorema sobre órdenes de elementos, cuya demostración veremos durante la siguiente clase.

PODÉIS RESOLVER YA MISMO EL PRIMER PROBLEMA DE LA HOJA DE PROBLEMAS DEL CAPÍTULO 1:

Un hecho evidente que os puede ayudar a resolver este problema es el siguiente: un elemento $x$ satisface que $x^2=1$ si y sólo si $x=x^{-1}$ (es decir, $x$ coincide con su inverso). Para convencerse de este hecho ¡simplemente hay que tener delante la definición de inverso!

Después de la preceptiva presentación de la asignatura (temario, evaluación, etc.) hemos comenzado con el primer tema: “Grupos”.

Hemos definido la noción de semigrupo (conjunto no vacío con una operación binaria que es asociativa), monoide (semigrupo con elemento neutro) y grupo (monoide en el cual todo elemento tiene inverso).

Hemos probado que el elemento neutro de un monoide (y, por tanto, de un grupo) es único, y que cualquier elemento de un grupo tiene un ÚNICO inverso. Todo ello usando ESTRICTAMENTE los axiomas de monoide y de grupo.

Hemos visto diferentes ejemplos (de carácter numérico) de semigrupos, monoides y grupos. Se ha definido el “grupo de simetrías” de un subconjunto $F$ de $\mathbb{R}^n$ (denotado por $M(F)$) como el conjunto de las isometrías que dejan invariante a $F$, con la operación “composición”.

El grupo de simetrías de un rectángulo se denomina “4-grupo de Klein” (y se denota por $K_4$; no recuerdo si esto lo he mencionado en clase). Tiene 4 elementos: la identidad, la rotación de ángulo $\pi$, la reflexión respecto del eje de abscisas, y la reflexión respecto del eje de ordenadas (supuesto el rectángulo centrado en el origen de coordenadas). A partir de su tabla de Cayley se ve que se trata de un grupo abeliano.

El grupo de simetrías de un triángulo equilátero se denomina “grupo diédrico de orden 6” (y se denota por $D_6$). Tiene 6 elementos: la identidad, la rotación de $2\pi/3$ radianes en sentido anti-horario (positivo), la rotación de $2\pi/3$ radianes en sentido horario, y las reflexiones respecto a las 3 mediatrices del triángulo. A partir de su tabla de Cayley se ve claramente que NO es un grupo abeliano.