Hemos detallado algunos ejemplos de homomorfismos de grupos y probado algunas propiedades elementales. En particular, si $f: G \rightarrow H$ es un homomorfismo de grupos:

• La imagen del neutro de $G$ es el neutro de $H$.
• La imagen del inverso de un elemento es el inverso de la imagen.
• La imagen de un subgrupo de $G$ es un subgrupo de $H$.
• La anti-imagen de un subgrupo de $H$ es un subgrupo de $G$.
• La imagen por $f$ de un elemento de orden finito $x\in G$ tiene orden finito y su orden divide al de $x$.
• La composición de homomorfismos es homomorfismo.
• La aplicación inversa de un homomorfismo biyectivo es homomorfismo.

También hemos definido el concepto de núcleo de un homomorfismo $f:G \rightarrow H$ y hemos probado que es un subgrupo normal de $G$. También hemos visto que un homomorfismo es inyectivo si y sólo si su núcleo es trivial. Esto da lugar a una manera alternativa a la habitual para probar que un homomorfismo es inyectivo: basta con demostrar que su núcleo es trivial.

Finalmente, hemos resuelto uno de los problemas del Tema 1: hemos probado que “Si $G$ es un grupo y $G/Z(G)$ es cíclico entonces $G$ es abeliano”.

Hoy hemos resuelto el problema número 13 de la hoja de problemas del Tema 1. La solución es un poco liosa, pero nos ha servido para repasar algunos resultados y técnicas relacionados con órdenes de elementos.

Hemos comenzado también el Tema 2 (Homomorfismos de grupos). Hemos definido el concepto de homomorfismo de grupos (que es el análogo al de “aplicación lineal” en álgebra lineal) y hemos definido los diversos tipos de homomorfismos según sean inyectivos, suprayectivos o biyectivos (monomorfismo, epimorfismo o isomorfismo). Un homomorfismo de un grupo $G$ en sí mismo se dice que es un endomorfismo. Un automorfismo es un endomorfismo que es también isomorfismo. Son conceptos que os resultarán familiares (por el álgebra lineal).

En la próxima clase resolveremos algún problema más y continuaremos con la teoría del Tema 2.

Durante la clase consideramos la terna $(\mathbb{Z}_n,+,\cdot)$ y recordamos las propiedades de las dos operaciones: suma y producto de clases de congruencia módulo $n$:

• $(\mathbb{Z}_n,+)$ es un grupo abeliano.
• La operación $\cdot$ es asociativa y distributiva respecto de la suma.

Estas dos propiedades se resumen diciendo que $(\mathbb{Z}_n,+,\cdot)$ tiene estructura de anillo. Además, la operación $\cdot$ es conmutativa (se trata, por tanto, de un anillo conmutativo) y tiene elemento neutro, la clase del 1 (es un anillo unitario). En resumen: $(\mathbb{Z}_n,+,\cdot)$ tiene estructura de anillo conmutativo y unitario.

Los elementos de $\mathbb{Z}_n$ que tienen inverso multiplicativo se denominan unidades. El conjunto de las unidades de $\mathbb{Z}_n$ se denota por $U_n$, y tiene estructura de grupo con la operación producto. Se dice que $(U_n,\cdot)$ es el grupo de las unidades de $\mathbb{Z}_n$.

La Proposición 1.9, que probamos, muestra cuáles son exactamente los elementos de $U_n$: las clases de los enteros que son coprimos con $n$.

En la parte final de la clase resolvimos los problemas 2 y 6 de la hoja de problemas del tema 1.

En la clase de hoy hemos definido los grupos simples como aquellos grupos $G$ cuyos únicos subgrupos normales son $1$ y $G$ (no tienen subgrupos normales intermedios).

Hemos demostrado también que si $G\neq 1$ es un grupo finito entonces se satisface la siguiente equivalencia: $G$ es simple y abeliano $\Leftrightarrow$ $G$ es cíclico de orden primo.

Ya vimos, con un ejemplo, que el producto de dos subgrupos de un grupo no es necesariamente un subgrupo. Hoy hemos probado una caracterización de cuándo se satisface esta propiedad. Más concretamente: si $H$ y $K$ son dos subgrupos de un grupo $G$ entonces $HK$ es un subgrupo si y sólo si $HK=KH$. También hemos visto una condición suficiente: si uno de los subgrupos, $H$ o $K$, es normal en $G$, entonces $HK$ es subgrupo.

Cabe señalar que el producto de dos subgrupos de un grupo abeliano siempre es un subgrupo (debido a la caracterización anterior).

Hemos demostrado que, si $a\mathbb{Z}$ y $b\mathbb{Z}$ son dos subgrupos de $(\mathbb{Z},+)$, entonces el subgrupo “suma” $a\mathbb{Z}+b\mathbb{Z}$ concide con el subgrupo $d\mathbb{Z}$, donde $d$ es el máximo común divisor de $a$ y $b$. (Nótese que, al usarse notación aditiva, el “producto” de subgrupos se reemplaza por la “suma”). Este resultado es equivalente a la Identidad de Bézout, que ya visteis el curso pasado en Matemática Discreta.

Hemos definido la noción de producto directo interno: Un grupo $G$ es producto directo interno de dos subgrupos suyos $H$ y $K$ si:

• $hk=kh$ para todo $h\in H$ y para todo $k\in K$,
• $H\cap K=1$
• $G=HK$

Hemos demostrado otra caracterización de producto directo interno que se obtiene sustituyendo, en la definición, la primera de las propiedades por la siguiente:

• $H$ y $K$ son subgrupos normales de $G$.

Finalmente hemos definido el concepto de producto directo externo: Dados dos grupos $G_1$ y $G_2$, se denomina producto directo externo de ambos grupos al producto cartesiano $G_1\times G_2$ dotado de la siguiente operación: $(x_1,x_2)(y_1,y_2)=(x_1y_1,x_2y_2)$ (es decir, el producto “componente a componente”). Esta operación dota a $G_1\times G_2$ de estructura de grupo, siendo $(1_{G_1},1_{G_2})$ el neutro y $(x^{-1},y^{-1})$ el inverso de cualquier elemento $(x,y)\in G_1\times G_2$.

Cabe señalar que, si $G$ un grupo $G$ es producto directo interno de dos subgrupos suyos $H$ y $K$ entonces $G=HK$ es isomorfo al producto directo externo $H\times K$ (precisaremos la noción de “isomorfismo” en el tema siguiente). Por ello, muchas veces se abusa de notación y se escribe $G=H\times K$ para dar a entender que $G$ es producto directo interno de $H$ y $K$. Incluso se dice, simplemente, que es “producto directo”, omitiendo el calificativo “interno”.

COMENTARIO RELEVANTE: Aunque no lo demostraremos en clase (ni irá para examen la demostración), hay un resultado muy relevante (enunciado y probado en la última sección el Tema 1) que debéis saber: el grupo alternado de grado $n$, $A_n$, es simple para todo $n\geq 5$. (La definición de grupo alternado se ve en la Práctica 2). Este hecho resulta fundamental para probar que una ecuación polinómica general de grado $n \geq 5$ no es resoluble por radicales. Este resultado lo veréis en Estructuras Algebraicas II, y es el colofón de una preciosa teoría denominada Teoría de Galois (en honor a Evariste Galois, matemático francés que dio con la caracterización precisa de cuándo una ecuación polinómica es resoluble por radicales, constituyendo el germen de la Teoría de Grupos). ¿Qué significa que “la ecuación polinómica general de grado mayor o igual que 5 no es resoluble por radicales”? Lo explico someramente a continuación: existen fórmulas que permiten resolver una ecuación polinómica de primer grado cualquiera, una ecuación de segundo grado $ax^2+bx+c=0$, y también las ecuaciones polinómicas de grado 3 y de grado 4. Todas estas fórmulas usan las siguientes operaciones: suma, resta, producto, división y toma de radicales. Sin embargo, no se conoce ninguna fórmula similar para resolver ecuaciones polinómicas de grado 5 o superior. Lo que demostró Abel (y luego precisó todavía más Galois, encontrando la razón de fondo) es que no pueden existir dichas fórmulas. Os sugiero hacer una búsqueda en internet sobre la vida y obra de Evariste Galois. También podéis ver algo aquí:

https://framonde.webs.upv.es/Galois.html

Como avance os diré que falleció en un duelo a la edad de 20 años.

Hemos terminado de resolver el Ejercicio 1.23. Un apartado especialmente importante de este ejercicio, y que debemos tener siempre presente pues resulta muy útil, es el siguiente: todo subgrupo de índice 2 es normal. En particular, como se vio (o se verá) en la práctica 2, el grupo alternado de grado $n$ (formado por las permutaciones pares) es un subgrupo normal de $S_n$, pues tiene índice 2.

Como ejemplo, se vio que el grupo especial lineal $SL(n,K)$ es un subgrupo normal del grupo general lineal $GL(n,K)$, y que todos los subgrupos del grupo cuaternio de orden 8, $Q_8$, son normales (a pesar de no ser $Q_8$ un grupo abeliano).

Finalmente se definió el concepto de centro de un grupo $G$, denotado por $Z(G)$, como el conjunto de todos los elementos de $G$ que conmutan con todos los elementos de $G$, y vimos que se trata de un subgrupo normal de $G$. Probamos que el centro de $S_n$ es trivial si $n\geq 3$ y vimos que el centro de $Q_8$ es $\{1,-1\}$.

El último ejercicio de la sección muestra que, para todo $r\geq 3$, el centro del grupo diédrico de orden $2r$, $D_{2r}$, es trivial si $r$ es impar y es el subgrupo cíclico de orden 2 $\{1,\rho^{r/2}\}$ si $r$ es par (donde $\rho$ es la rotación de ángulo $2\pi/r$).

En la clase de ayer probamos algunos resultados que se obtienen aplicando el Teorema de Lagrange:

• El orden de todo elemento de un grupo finito divide al orden del grupo.
• Si un grupo tiene orden primo entonces es cíclico.
• Un grupo finito no tiene subgrupos propios no triviales si y sólo si tiene orden primo.

Definimos el concepto de subgrupo normal de un grupo $G$ como aquél en el que las clases a izquierda y a derecha de cualquier elemento coinciden. Es decir, $n\leq G$ es normal en $G$ si $xN=Nx$ para todo $x\in G$. En particular, si $G$ es abeliano, todos sus subgrupos son normales. Observamos, como ejemplo, que el subgrupo $\{1,-1\}$ de $Q_8$ es un subgrupo normal.

Demostramos que, cuando $N$ es un subgrupo normal de un grupo $G$, el conjunto de sus clases a izquierda (o a derecha, porque son las mismas), denotado por $G/N$ en este caso, tiene estructura de grupo con la operación “producto de clases”. En particular, vimos que $(xN)(yN)=(xy)N$ (con lo cual el producto de clases es una clase y, por tanto, constituye una operación binaria interna en $G/N$), el elemento neutro es $1N=N$ (la clase del $1$) y el elemento inverso de una clase $xN$ es $x^{-1}N$, es decir, $(xN)^{-1}=x^{-1}N$. El grupo $G/N$ (con esta operación) se denomina grupo cociente de $G$ con $N$. Calculamos los elementos del grupo cociente $Q_8/H$, donde $H=\{1,-1\}$, construimos su tabla de Cayley, y vimos que $Q_8/H$ es isomorfo al 4-grupo de Klein comparando ambas tablas de Cayley. También vimos que el grupo cociente $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ (para todo entero $n$) coincide con el grupo de clases de congruencia módulo $n$ (con las operación suma).

Demostramos que, dados un subgrupo $H$ de un grupo $G$ y un elemento $g\in G$, el conjugado de $H$ con $g$, $H^g$, es un subgrupo de $G$. Además, si $H$ es finito, $H^g$ tiene el mismo orden que $H$.

Probamos un par de caracterizaciones de los subgrupos normales: un subgrupo $N$ de un grupo $G$ es normal si y sólo si $N^g=N$ para todo $g\in G$ si y sólo si $N^g\subseteq N$ para todo $g\in G$.

Finalmente, vimos en un ejercicio que la intersección de subgrupos normales es un subgrupo normal.