En la clase de ayer probamos algunos resultados que se obtienen aplicando el Teorema de Lagrange:

• El orden de todo elemento de un grupo finito divide al orden del grupo.
• Si un grupo tiene orden primo entonces es cíclico.
• Un grupo finito no tiene subgrupos propios no triviales si y sólo si tiene orden primo.

Definimos el concepto de subgrupo normal de un grupo $G$ como aquél en el que las clases a izquierda y a derecha de cualquier elemento coinciden. Es decir, $n\leq G$ es normal en $G$ si $xN=Nx$ para todo $x\in G$. En particular, si $G$ es abeliano, todos sus subgrupos son normales. Observamos, como ejemplo, que el subgrupo $\{1,-1\}$ de $Q_8$ es un subgrupo normal.

Demostramos que, cuando $N$ es un subgrupo normal de un grupo $G$, el conjunto de sus clases a izquierda (o a derecha, porque son las mismas), denotado por $G/N$ en este caso, tiene estructura de grupo con la operación “producto de clases”. En particular, vimos que $(xN)(yN)=(xy)N$ (con lo cual el producto de clases es una clase y, por tanto, constituye una operación binaria interna en $G/N$), el elemento neutro es $1N=N$ (la clase del $1$) y el elemento inverso de una clase $xN$ es $x^{-1}N$, es decir, $(xN)^{-1}=x^{-1}N$. El grupo $G/N$ (con esta operación) se denomina grupo cociente de $G$ con $N$. Calculamos los elementos del grupo cociente $Q_8/H$, donde $H=\{1,-1\}$, construimos su tabla de Cayley, y vimos que $Q_8/H$ es isomorfo al 4-grupo de Klein comparando ambas tablas de Cayley. También vimos que el grupo cociente $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ (para todo entero $n$) coincide con el grupo de clases de congruencia módulo $n$ (con las operación suma).

Demostramos que, dados un subgrupo $H$ de un grupo $G$ y un elemento $g\in G$, el conjugado de $H$ con $g$, $H^g$, es un subgrupo de $G$. Además, si $H$ es finito, $H^g$ tiene el mismo orden que $H$.

Probamos un par de caracterizaciones de los subgrupos normales: un subgrupo $N$ de un grupo $G$ es normal si y sólo si $N^g=N$ para todo $g\in G$ si y sólo si $N^g\subseteq N$ para todo $g\in G$.

Finalmente, vimos en un ejercicio que la intersección de subgrupos normales es un subgrupo normal.