Durante la clase consideramos la terna $(\mathbb{Z}_n,+,\cdot)$ y recordamos las propiedades de las dos operaciones: suma y producto de clases de congruencia módulo $n$:

• $(\mathbb{Z}_n,+)$ es un grupo abeliano.
• La operación $\cdot$ es asociativa y distributiva respecto de la suma.

Estas dos propiedades se resumen diciendo que $(\mathbb{Z}_n,+,\cdot)$ tiene estructura de anillo. Además, la operación $\cdot$ es conmutativa (se trata, por tanto, de un anillo conmutativo) y tiene elemento neutro, la clase del 1 (es un anillo unitario). En resumen: $(\mathbb{Z}_n,+,\cdot)$ tiene estructura de anillo conmutativo y unitario.

Los elementos de $\mathbb{Z}_n$ que tienen inverso multiplicativo se denominan unidades. El conjunto de las unidades de $\mathbb{Z}_n$ se denota por $U_n$, y tiene estructura de grupo con la operación producto. Se dice que $(U_n,\cdot)$ es el grupo de las unidades de $\mathbb{Z}_n$.

La Proposición 1.9, que probamos, muestra cuáles son exactamente los elementos de $U_n$: las clases de los enteros que son coprimos con $n$.

En la parte final de la clase resolvimos los problemas 2 y 6 de la hoja de problemas del tema 1.