Hemos detallado algunos ejemplos de homomorfismos de grupos y probado algunas propiedades elementales. En particular, si $f: G \rightarrow H$ es un homomorfismo de grupos:

• La imagen del neutro de $G$ es el neutro de $H$.
• La imagen del inverso de un elemento es el inverso de la imagen.
• La imagen de un subgrupo de $G$ es un subgrupo de $H$.
• La anti-imagen de un subgrupo de $H$ es un subgrupo de $G$.
• La imagen por $f$ de un elemento de orden finito $x\in G$ tiene orden finito y su orden divide al de $x$.
• La composición de homomorfismos es homomorfismo.
• La aplicación inversa de un homomorfismo biyectivo es homomorfismo.

También hemos definido el concepto de núcleo de un homomorfismo $f:G \rightarrow H$ y hemos probado que es un subgrupo normal de $G$. También hemos visto que un homomorfismo es inyectivo si y sólo si su núcleo es trivial. Esto da lugar a una manera alternativa a la habitual para probar que un homomorfismo es inyectivo: basta con demostrar que su núcleo es trivial.

Finalmente, hemos resuelto uno de los problemas del Tema 1: hemos probado que “Si $G$ es un grupo y $G/Z(G)$ es cíclico entonces $G$ es abeliano”.