Describimos someramente, a continuación, una de las aplicaciones más básicas del Álgebra Conmutativa: resolución de sistemas de ecuaciones polinómicas.

Si $A$ es un anillo y $x$ es una indeterminada, denotemos por $A[x]$ al conjunto de expresiones formales del tipo $$a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n,$$ donde $a_i\in A$ para todo $i$ y $n$ es un número entero no negativo. Una expresión de este tipo se denomina polinomio con coeficientes en $A$ e indeterminada $x$. Ya habéis trabajado con polinomios en Educación Secundaria y en Bachillerato; la única diferencia es que los coeficientes que usábais eran números reales y aquí se permiten coeficientes en cualquier anillo $A$. También habéis visto que dos polinomios se pueden sumar y multiplicar. En el caso más general que nos ocupa, la suma y el producto de polinomios se definen igual. Es sencillo probar que $(A[x],+,\cdot)$ tiene estructura de anillo.

Podemos considerar también polinomios en más indeterminadas. Si $x_1,…,x_n$ es un conjunto de indeterminadas, se denomina monomio en $x_1,…,x_n$ a cualquier expresión del tipo $x_1^{\alpha_1}\cdots x_n^{\alpha_n}$, donde los exponentes $\alpha_i$ son enteros no negativos. Dicho de otro modo, un monomio es un producto de potencias de las indeterminadas. Se denomina polinomio en $x_1,\ldots,x_n$ con coeficientes en $A$ a cualquier combinación lineal de monomios con coeficientes en $A$. El conjunto de todos estos polinomios se denota por $A[x_1,\ldots,x_n]$. Por ejemplo, si consideramos dos indeterminadas $x,y$, las expresiones $0$, $3$, $2+5x+yxy^2$ y $x^2y-7xy^5-12x^7$ son ejemplos de polinomios en $\mathbb{Z}[x,y]$. De manera totalmente análoga (y natural) al caso de $A[x]$, se definen la suma y el producto de polinomios en $A[x_1,\ldots,x_n]$. Además, $(A[x_1,\ldots,x_n],+,\cdot)$ también tiene estructura de anillo (denominado anillo de polinomios en las indeterminadas $x_1,\ldots,x_n$).

Vamos a centrarnos en anillos de polinomios con coeficientes en un cuerpo $K$. Es decir, anillos del tipo $K[x_1,\ldots,x_n]$. Vamos a considerar, como ejemplo, $K=\mathbb{C}$ (el cuerpo de los números complejos) y vamos a tomar dos indeterminadas $x,y$.

Vamos a considerar el siguiente sistema de ecuaciones con coeficientes en $\mathbb{C}$: $$f:=xy^2-2x-y^2+2=0,$$ $$g:=x^2y-x^2+y+1=0.$$ Nuestro objetivo va a ser resolver dicho sistema de ecuaciones, es decir, encontrar todos los pares de números complejos $(x,y)$ que satisfacen estas dos ecuaciones.

Esto no parece fácil, a simple vista. Veremos (someramente, sin detalles) que determinados resultados de álgebra conmutativa nos van a permitir resolver este sistema.

Fijémonos en que los primeros miembros de las ecuaciones, $f$ y $g$, son polinomios con dos indeterminadas ($x,y$) y coeficientes en $\mathbb{C}$. Es decir, $f,g\in \mathbb{C}[x,y]$. Lo que buscamos al resolver el sistema de ecuaciones es el conjunto de ceros comunes a $f$ y a $g$, entendiéndose como cero de un polinomio $h\in \mathbb{C}[x,y]$ un punto $(a,b)\in \mathbb{C}\times \mathbb{C}$ en el que se anula $h$ (es decir, tal que $h(a,b)=0$).

Introduzcamos un poco de notación: si $S$ es un conjunto de polinomios en $\mathbb{C}[x,y]$, denotaremos por $V(S)$ al conjunto de todos los puntos $(a,b)\in \mathbb{C}\times \mathbb{C}$ tales que $h(a,b)=0$ para todo $h\in S$. Dicho de otro modo, $V(S)$ es el conjunto de ceros comunes a todos los polinomios de $S$. En nuestro ejemplo, lo que buscamos es el conjunto $V(\{f,g\})$.

La primera observación importante es la siguiente: si $\langle f,g\rangle$ es el ideal de $\mathbb{C}[x,y]$ generado por $f$ y $g$ entonces $V(\{f,g\})=V(\langle f, g\rangle)$. Dicho de otro modo, el conjunto de ceros comunes a $f$ y a $g$ es exactamente el mismo que el conjunto de ceros comunes a todos los polinomios pertenecientes al ideal que generan $f$ y $g$. Veamos esto:

Si $(a,b)\in V(\{f,g\})$ y $h$ es un polinomio perteneciente al ideal $\langle f,g\rangle$ entonces $h(a,b)=0$. En efecto: sabemos (lo hemos visto en teoría) que los elementos de $\langle f,g\rangle$ son exactamente todas las combinaciones lineales $f$ y $g$ con coeficientes en en anillo (que, en este caso, es $\mathbb{C}[x,y]$. Por tanto, existen dos polinomios $h_1,h_2\in \mathbb{C}[x,y]$ tales que $h=h_1f+h_2g$. Evaluando $h$ en $(a,b)$ se tiene que $h(a,b)=h_1(a,b)f(a,b)+h_2(a,b)g(a,b)=0$, donde la última igualdad es consecuencia del hecho de que $(a,b)\in V(\{f,g\})$ (es decir, de que $(a,b)$ sea un cero común a $f$ y a $g$). Esto prueba la inclusión $V(\{f,g\})\subseteq V(\langle f, g\rangle)$.

La otra inclusión es clara, ya que tanto $f$ como $g$ pertenecen al ideal $\langle f, g\rangle$.

Por tanto, el conjunto de soluciones del sistema de ecuaciones anterior no depende de las ecuaciones específicas $f=0$ y $g=0$ sino más bien del ideal generado por $f$ y $g$. Así pues, si logramos encontrar un sistema de generadores de $\langle f,g\rangle$ que sea mejor (en el sentido de que las ecuaciones que determinen se puedan resolver fácilmente) habremos ganado.

Hay técnicas de Álgebra Conmutativa Computacional que permiten hacer esto. Dado un ideal de un anillo de polinomios, usando la Teoría de bases de Groebner (de la cual no es pertinente dar más detalles aquí), puede calcularse un conjunto de generadores del ideal «más fácil». En el caso que nos ocupa, puede verse que el conjunto de polinomios $$\{y^3-y^2-2 y+2, x y^2+2 x-y^2+2, x^2+x y^2-2 x+y^2-1\}$$ constituye un sistema generador alternativo del ideal $\langle f,g\rangle$, es decir, $$\langle f,g\rangle=\langle y^3-y^2-2 y+2, x y^2+2 x-y^2+2, x^2+x y^2-2 x+y^2-1 \rangle.$$ Como, por lo dicho antes, $$V(\{f,g\})=V(\langle f,g\rangle)=V(\langle y^3-y^2-2 y+2, x y^2+2 x-y^2+2, x^2+x y^2-2 x+y^2-1 \rangle),$$ resulta que nuestro sistema de ecuaciones inicial es equivalente al sistema siguiente: $$y^3-y^2-2 y+2=0,$$ $$x y^2+2 x-y^2+2=0,$$ $$x^2+x y^2-2 x+y^2-1=0.$$

Observemos que la primera ecuación sólo depende de $y$ (no depende de $x$). Podemos, por tanto, resolver esta ecuación en $y$ (que tiene una sola incógnita) y calcular todos los valores de $y$ posibles en las soluciones. Sustituyendo estos valores en las dos ecuaciones siguientes pueden calcularse los valores de $x$ correspondientes. De esta manera, seremos capaces de resolver el sistema. Si hacemos esto veremos que las soluciones de nuestro sistema son las siguientes: $$ (1,1),(i, \sqrt{2}),(-i, \sqrt{2}),(i,-\sqrt{2}),(-i,-\sqrt{2}).$$