Clase del 19 de diciembre (2 horas)
Hemos comenzado con varios ejemplos de acciones notables: la acción de un grupo $G$ por multiplicación a derecha sobre el conjunto de las clases a derecha módulo un subgrupo, la acción de $G$ por multiplicación sobre un subgrupo, la acción de $G$ sobre $G$ por conjugación, etc.
Dada una acción de un grupo $G$ sobre un conjunto no vacío $\Omega$ y dado un elemento $\alpha\in \Omega$, hemos definido el «estabilizador, según $G$, de $\alpha$», denotado por $Stab_G(\alpha)$, como el conjunto de los elementos de $G$ que «estabilizan» a $\alpha$ (es decir, tales que $\alpha \cdot G=\alpha$). Hemos probado que es un subgrupo de $G$ y hemos enunciado y probado el importante teorema «órbita-estabilizador», que afirma que si el grupo $G$ es finito, entonces el cardinal de la órbita de un elemento cualquiera de $\Omega$ coincide con el índice de su estabilizador. Se relaciona, así, el cardinal de una órbita (que va asociado al conjunto $\Omega$) con el índice de cierto subgrupo (que va asociado al grupo $G$ que actúa sobre $\Omega$).
Hemos demostrado, usando toda la «maquinaria» de acciones que hemos visto, el Teorema de Cauchy, que afirma que si un número primo $p$ divide al orden de un grupo finito $|G|$ entonces $G$ posee un elemento de orden $p$.
Finalmente hemos definido el concepto de «acción fiel» y hemos visto un ejemplo particular de acción «a izquierda».
Clase del 16 de diciembre (1 hora)
En lugar de ver la segunda parte del capítulo 4 (Anillos de polinomios), hemos optado por ver los aspectos más importantes del capítulo 3 (Acciones de un grupo sobre un conjunto). El motivo es doble: por una parte, el estudio de los anillos de polinomios constituye la primera parte de la asignatura de cuarto Estructuras Algebraicas II; por otra parte, resulta altamente interesante entender el concepto de «acción de un grupo sobre un conjunto» debido a que aparece en muy diversas áreas de las matemáticas y resulta muy útil para definir ciertos objetos geométricos, como por ejemplo el «espacio proyectivo $n$-dimensional sobre un cuerpo $K$» (que se define como el conjunto de órbitas de una cierta acción del grupo multiplicativo $K^*$ sobre el conjunto de los puntos distintos de $0$ del espacio afín $(n+1)$-dimensional $K^{n+1}$).
Hemos definido el concepto de acción (a derecha y a izquierda) de un grupo $G$ sobre un conjunto no vacío $\Omega$. Por defecto, todas las acciones consideradas serán «a derecha» (debido a que la acción natural del grupo simétrico $S_n$ sobre el conjunto $\{1,\ldots,n\}$ es una acción a derecha, por la manera en la que hemos definido el producto de permutaciones). Hemos visto varios ejemplos de acciones (la acción del grupo diédrico de orden 8 sobre los vértices de un cuadrado y la acción natural de $S_n$ sobre $\{1,\ldots,n\}$ entre ellos). Finalmente hemos definido el concepto de «órbita» de un elemento $\alpha$ de $\Omega$, denotada por $O_G(\alpha)$ como una clase de equivalencia de la siguiente relación binaria de equivalencia en $\Omega$: $\alpha \sim \beta$ si existe $g\in G$ tal que $\alpha\cdot g=\beta$. Dicho de otro modo:
$$O_G(\alpha)=\{\alpha\cdot g\mid g\in G\}.$$
Hemos visto también varios ejemplos para aclarar mejor el concepto. También hemos definido el concepto de «acción transitiva», aplicándolo a varios ejemplos.
Clase del 12 de diciembre (2 horas)
Se resolvieron problemas del 1al 7 de la hoja de problemas del Capítulo 4. El problema número 8 se dejó como ejercicio. Consiste en la construcción del «cuerpo de cocientes» de un dominio de integridad. Imita el proceso de construcción del cuerpo de los números racionales como conjunto cociente de una relación binaria de equivalencia en $\mathbb{Z}\times (\mathbb{Z}\setminus \{0\})$.
¿Cómo construir cuerpos finitos?
Ya sabéis que los anillos $(\mathbb{Z}_p,+,\cdot)$, con $p$ primo, son cuerpos finitos (tienen $p$ elementos). Sin embargo, no son los únicos cuerpos finitos. Veamos ahora cómo construir más. Para ello vamos a utilizar el último resultado que hemos probado en las clases de teoría: si $A$ es un anillo conmutativo e $I$ es un ideal de $A$ entonces $I$ es ideal maximal si y sólo si $A/I$ es cuerpo.
Sea $p$ cualquier número primo y consideremos el anillo de polinomios con coeficientes en $\mathbb{Z}_p$, $A=\mathbb{Z}_p[x]$. Consideremos también un polinomio irreducible $f(x)\in \mathbb{Z}_p[x]$ (irreducible significa que no puede escribirse como producto de dos polinomios en $\mathbb{Z}_p[x]$ no constantes). Sea el ideal $I$ de $\mathbb{Z}_p[x]$ generado por $f(x)$, es decir, $I=\langle f(x) \rangle=A f(x)=\mathbb{Z}_p[x]f(x)$ (cuyos elementos son exactamente los múltiplos de $f(x)$, es decir, los polinomios de la forma $h(x)f(x)$ con $h(x)\in \mathbb{Z}_p[x]$.
Puede demostrarse que $I$ es un ideal maximal de $\mathbb{Z}_p[x]$ (esta prueba la veréis en cuarto) y, por tanto, aplicando la caracterización de los ideales maximales antes mencionada, el anillo cociente $\mathbb{Z}_p[x]/I$ es un cuerpo.
Veamos que este cuerpo tiene una cantidad finita de elementos. Si $h(x)+I$ es un elemento cualquiera de $\mathbb{Z}_p[x]/I$ entonces, dividiendo $h(x)$ entre $f(x)$, se tiene que existen dos polinomios únicos $q(x)$ (cociente) y $r(x)$ (resto) tales que $h(x)=q(x)f(x)+r(x)$, donde o bien $r(x)$ es el polinomio nulo, o bien es un polinomio no nulo de grado estrictamente menor que el grado de $f(x)$. (El ‘Algoritmo de la División’ también es válido para polinomios con coeficientes en cualquier cuerpo). Tomando clases módulo el ideal $I$ tenemos que
$$h(x)+I=(q(x)+I)(f(x)+I)+(r(x)+I)=r(x)+I$$
porque $f(x)+I=0+I$ al ser $f(x)\in I$. Si llamamos $d$ al grado de $f(x)$, como el grado de $r(x)$ es menor que $d$ (en caso de no ser el polinomio nulo), se tiene que
$$r(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_{d-1}x^{d-1}$$
para ciertos elementos $a_0,\ldots, a_{d-1}\in \mathbb{Z}_p$. Luego:
$$h(x)+I=(a_0+I)(1+I)+(a_1+I)(x+I)+\cdots + (a_{d-1}+I)(x^{d-1}+I).$$
Fijémonos en que, si $a,b\in \mathbb{Z}_p$ (es decir, son polinomios constantes) entonces $a+I=b+I$ si y sólo si $a-b\in I$ si y sólo si $a-b$ es un múltiplo del polinomio $f(x)$. Y esto ocurre si y sólo si $a-b=0$ (es decir, $a=b$), pues $a-b$ es un polinomio constante y $f(x)$ es un polinomio de grado $d\geq 1$. Por tanto, para cada coeficiente $a_i+I$ hay tantas posibilidades distintas como elementos $a_i$ en $\mathbb{Z}_p$ (es decir, $p$ posibilidades).
Con esto, acabamos de probar que todo elemento $h(x)+I$ del cuerpo $\mathbb{Z}_p[x]/I$ puede expresarse como combinación lineal (con coeficientes de la forma $a_i+I$, con $a_i$ constante en $\mathbb{Z}_p$) de las siguientes $d$ clases: $1+I, x+I, x^2+I,\ldots, x^{d-1}+I$. Como cada uno de los coeficientes $a_i+I$ puede tomar sólo $p$ valores (los correspondientes a los $p$ elementos de $\mathbb{Z}_p$) se tiene que hay, como mucho, $p^d$ elementos en $\mathbb{Z}_p[x]/I$. De hecho, puede justificarse fácilmente (no entramos aquí en esto) que estos $p^d$ elementos son todos distintos. Por tanto, concluimos que el cuerpo $\mathbb{Z}_p[x]/I$ tiene, exactamente, $p^d$ elementos (donde $d$ es el grado del polinomio irreducible $f(x)$).
Para construir cuerpos finitos de esta manera podemos tomar cualquier polinomio irreducible $f(x)$ de $\mathbb{Z}_p[x]$. Puede demostrarse que si $f_1(x)$ y $f_2(x)$ son dos polinomios irreducibles de $\mathbb{Z}_p[x]$ del mismo grado entonces los respectivos cuerpos $\mathbb{Z}_p[x]/\langle f_1(x)\rangle$ y $\mathbb{Z}_p[x]/\langle f_2(x)\rangle$ son isomorfos. Como consecuencia de esto (y de otros hechos relevantes) se deduce que, para cada número primo $p$ y para cada número natural $d$ existe, salvo isomorfismo, un único cuerpo con $p^d$ elementos. Este cuerpo se denomina cuerpo de Galois de cardinal $p^d$ y suele denotarse por $GF(p^d)$ (en inglés “Galois field”). (Para polinomios de grado 1 se obtienen los conocidos cuerpos $GF(p)=\mathbb{Z}_p$ con $p$ primo).
Y hay más: puede demostrarse que estos son todos los cuerpos finitos que existen (salvo isomorfismo). No hay más. Cualquier cuerpo finito debe ser isomorfo a uno de los grupos de Galois $GF(p^d)$.
Clase del 9 de diciembre (1 hora)
Hemos definido el concepto de ideal primo de un anillo conmutativo $A$ como un ideal $I$ distinto de $A$ tal que se satisface la siguiente implicación: si $a,b\in A$ y $ab\in I$ entonces $a\in I$ o $b\in I$.
Hemos probado la siguiente caracterización: un ideal $I$ de $A$ es primo si y sólo si el anillo cociente $A/I$ es un dominio de integridad.
También hemos definido el concepto de ideal maximal de un anillo $A$ como aquel ideal $I$ de $A$ que satisface la siguiente implicación: si $J$ es un ideal de $A$ tal que $I\subseteq J\subseteq A$ entonces $J=I$ o $J=A$. Dicho de otro modo, si no existen ideales intermedios entre $I$ y $A$. Hemos probado que, en el caso de ser el anillo $A$ conmutativo, un ideal $I$ es maximal si y sólo si el anillo cociente $A/I$ es un cuerpo.
Clase del 2 de diciembre (1 hora)
Hoy hemos definido el concepto de homomorfismo de anillos y hemos visto algunas de sus propiedades básicas. En particular, hemos visto que el núcleo de un homomorfismo de anillos es un ideal y que la imagen de un homomorfismo de anillos es un subanillo. También hemos demostrado el Primer Teorema de Isomorfía para Anillos. Para finalizar la clase hemos definido el concepto de ideal primo (en el ámbito de anillos conmutativos). Se trata de una adaptación al ámbito abstracto de la Teoría de Anillos del concepto de número primo.