Ya sabéis que los anillos $(\mathbb{Z}_p,+,\cdot)$, con $p$ primo, son cuerpos finitos (tienen $p$ elementos). Sin embargo, no son los únicos cuerpos finitos. Veamos ahora cómo construir más. Para ello vamos a utilizar el último resultado que hemos probado en las clases de teoría: si $A$ es un anillo conmutativo e $I$ es un ideal de $A$ entonces $I$ es ideal maximal si y sólo si $A/I$ es cuerpo.

Sea $p$ cualquier número primo y consideremos el anillo de polinomios con coeficientes en $\mathbb{Z}_p$, $A=\mathbb{Z}_p[x]$. Consideremos también un polinomio irreducible $f(x)\in \mathbb{Z}_p[x]$ (irreducible significa que no puede escribirse como producto de dos polinomios en $\mathbb{Z}_p[x]$ no constantes). Sea el ideal $I$ de $\mathbb{Z}_p[x]$ generado por $f(x)$, es decir, $I=\langle f(x) \rangle=A f(x)=\mathbb{Z}_p[x]f(x)$ (cuyos elementos son exactamente los múltiplos de $f(x)$, es decir, los polinomios de la forma $h(x)f(x)$ con $h(x)\in \mathbb{Z}_p[x]$.

Puede demostrarse que $I$ es un ideal maximal de $\mathbb{Z}_p[x]$ (esta prueba la veréis en cuarto) y, por tanto, aplicando la caracterización de los ideales maximales antes mencionada, el anillo cociente $\mathbb{Z}_p[x]/I$ es un cuerpo.

Veamos que este cuerpo tiene una cantidad finita de elementos. Si $h(x)+I$ es un elemento cualquiera de $\mathbb{Z}_p[x]/I$ entonces, dividiendo $h(x)$ entre $f(x)$, se tiene que existen dos polinomios únicos $q(x)$ (cociente) y $r(x)$ (resto) tales que $h(x)=q(x)f(x)+r(x)$, donde o bien $r(x)$ es el polinomio nulo, o bien es un polinomio no nulo de grado estrictamente menor que el grado de $f(x)$. (El ‘Algoritmo de la División’ también es válido para polinomios con coeficientes en cualquier cuerpo). Tomando clases módulo el ideal $I$ tenemos que

$$h(x)+I=(q(x)+I)(f(x)+I)+(r(x)+I)=r(x)+I$$

porque $f(x)+I=0+I$ al ser $f(x)\in I$. Si llamamos $d$ al grado de $f(x)$, como el grado de $r(x)$ es menor que $d$ (en caso de no ser el polinomio nulo), se tiene que

$$r(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_{d-1}x^{d-1}$$

para ciertos elementos $a_0,\ldots, a_{d-1}\in \mathbb{Z}_p$. Luego:

$$h(x)+I=(a_0+I)(1+I)+(a_1+I)(x+I)+\cdots + (a_{d-1}+I)(x^{d-1}+I).$$

Fijémonos en que, si $a,b\in \mathbb{Z}_p$ (es decir, son polinomios constantes) entonces $a+I=b+I$ si y sólo si $a-b\in I$ si y sólo si $a-b$ es un múltiplo del polinomio $f(x)$. Y esto ocurre si y sólo si $a-b=0$ (es decir, $a=b$), pues $a-b$ es un polinomio constante y $f(x)$ es un polinomio de grado $d\geq 1$. Por tanto, para cada coeficiente $a_i+I$ hay tantas posibilidades distintas como elementos $a_i$ en $\mathbb{Z}_p$ (es decir, $p$ posibilidades).

Con esto, acabamos de probar que todo elemento $h(x)+I$ del cuerpo $\mathbb{Z}_p[x]/I$ puede expresarse como combinación lineal (con coeficientes de la forma $a_i+I$, con $a_i$ constante en $\mathbb{Z}_p$) de las siguientes $d$ clases: $1+I, x+I, x^2+I,\ldots, x^{d-1}+I$. Como cada uno de los coeficientes $a_i+I$ puede tomar sólo $p$ valores (los correspondientes a los $p$ elementos de $\mathbb{Z}_p$) se tiene que hay, como mucho, $p^d$ elementos en $\mathbb{Z}_p[x]/I$. De hecho, puede justificarse fácilmente (no entramos aquí en esto) que estos $p^d$ elementos son todos distintos. Por tanto, concluimos que el cuerpo $\mathbb{Z}_p[x]/I$ tiene, exactamente, $p^d$ elementos (donde $d$ es el grado del polinomio irreducible $f(x)$).

Para construir cuerpos finitos de esta manera podemos tomar cualquier polinomio irreducible $f(x)$ de $\mathbb{Z}_p[x]$. Puede demostrarse que si $f_1(x)$ y $f_2(x)$ son dos polinomios irreducibles de $\mathbb{Z}_p[x]$ del mismo grado entonces los respectivos cuerpos $\mathbb{Z}_p[x]/\langle f_1(x)\rangle$ y $\mathbb{Z}_p[x]/\langle f_2(x)\rangle$ son isomorfos. Como consecuencia de esto (y de otros hechos relevantes) se deduce que, para cada número primo $p$ y para cada número natural $d$ existe, salvo isomorfismo, un único cuerpo con $p^d$ elementos. Este cuerpo se denomina cuerpo de Galois de cardinal $p^d$ y suele denotarse por $GF(p^d)$ (en inglés “Galois field”). (Para polinomios de grado 1 se obtienen los conocidos cuerpos $GF(p)=\mathbb{Z}_p$ con $p$ primo).

Y hay más: puede demostrarse que estos son todos los cuerpos finitos que existen (salvo isomorfismo). No hay más. Cualquier cuerpo finito debe ser isomorfo a uno de los grupos de Galois $GF(p^d)$.