Hemos comenzado con varios ejemplos de acciones notables: la acción de un grupo $G$ por multiplicación a derecha sobre el conjunto de las clases a derecha módulo un subgrupo, la acción de $G$ por multiplicación sobre un subgrupo, la acción de $G$ sobre $G$ por conjugación, etc.

Dada una acción de un grupo $G$ sobre un conjunto no vacío $\Omega$ y dado un elemento $\alpha\in \Omega$, hemos definido el «estabilizador, según $G$, de $\alpha$», denotado por $Stab_G(\alpha)$, como el conjunto de los elementos de $G$ que «estabilizan» a $\alpha$ (es decir, tales que $\alpha \cdot G=\alpha$). Hemos probado que es un subgrupo de $G$ y hemos enunciado y probado el importante teorema «órbita-estabilizador», que afirma que si el grupo $G$ es finito, entonces el cardinal de la órbita de un elemento cualquiera de $\Omega$ coincide con el índice de su estabilizador. Se relaciona, así, el cardinal de una órbita (que va asociado al conjunto $\Omega$) con el índice de cierto subgrupo (que va asociado al grupo $G$ que actúa sobre $\Omega$).

Hemos demostrado, usando toda la «maquinaria» de acciones que hemos visto, el Teorema de Cauchy, que afirma que si un número primo $p$ divide al orden de un grupo finito $|G|$ entonces $G$ posee un elemento de orden $p$.

Finalmente hemos definido el concepto de «acción fiel» y hemos visto un ejemplo particular de acción «a izquierda».

En lugar de ver la segunda parte del capítulo 4 (Anillos de polinomios), hemos optado por ver los aspectos más importantes del capítulo 3 (Acciones de un grupo sobre un conjunto). El motivo es doble: por una parte, el estudio de los anillos de polinomios constituye la primera parte de la asignatura de cuarto Estructuras Algebraicas II; por otra parte, resulta altamente interesante entender el concepto de «acción de un grupo sobre un conjunto» debido a que aparece en muy diversas áreas de las matemáticas y resulta muy útil para definir ciertos objetos geométricos, como por ejemplo el «espacio proyectivo $n$-dimensional sobre un cuerpo $K$» (que se define como el conjunto de órbitas de una cierta acción del grupo multiplicativo $K^*$ sobre el conjunto de los puntos distintos de $0$ del espacio afín $(n+1)$-dimensional $K^{n+1}$).

Hemos definido el concepto de acción (a derecha y a izquierda) de un grupo $G$ sobre un conjunto no vacío $\Omega$. Por defecto, todas las acciones consideradas serán «a derecha» (debido a que la acción natural del grupo simétrico $S_n$ sobre el conjunto $\{1,\ldots,n\}$ es una acción a derecha, por la manera en la que hemos definido el producto de permutaciones). Hemos visto varios ejemplos de acciones (la acción del grupo diédrico de orden 8 sobre los vértices de un cuadrado y la acción natural de $S_n$ sobre $\{1,\ldots,n\}$ entre ellos). Finalmente hemos definido el concepto de «órbita» de un elemento $\alpha$ de $\Omega$, denotada por $O_G(\alpha)$ como una clase de equivalencia de la siguiente relación binaria de equivalencia en $\Omega$: $\alpha \sim \beta$ si existe $g\in G$ tal que $\alpha\cdot g=\beta$. Dicho de otro modo:

$$O_G(\alpha)=\{\alpha\cdot g\mid g\in G\}.$$

Hemos visto también varios ejemplos para aclarar mejor el concepto. También hemos definido el concepto de «acción transitiva», aplicándolo a varios ejemplos.

Se resolvieron problemas del 1al 7 de la hoja de problemas del Capítulo 4. El problema número 8 se dejó como ejercicio. Consiste en la construcción del «cuerpo de cocientes» de un dominio de integridad. Imita el proceso de construcción del cuerpo de los números racionales como conjunto cociente de una relación binaria de equivalencia en $\mathbb{Z}\times (\mathbb{Z}\setminus \{0\})$.