En lugar de ver la segunda parte del capítulo 4 (Anillos de polinomios), hemos optado por ver los aspectos más importantes del capítulo 3 (Acciones de un grupo sobre un conjunto). El motivo es doble: por una parte, el estudio de los anillos de polinomios constituye la primera parte de la asignatura de cuarto Estructuras Algebraicas II; por otra parte, resulta altamente interesante entender el concepto de «acción de un grupo sobre un conjunto» debido a que aparece en muy diversas áreas de las matemáticas y resulta muy útil para definir ciertos objetos geométricos, como por ejemplo el «espacio proyectivo $n$-dimensional sobre un cuerpo $K$» (que se define como el conjunto de órbitas de una cierta acción del grupo multiplicativo $K^*$ sobre el conjunto de los puntos distintos de $0$ del espacio afín $(n+1)$-dimensional $K^{n+1}$).

Hemos definido el concepto de acción (a derecha y a izquierda) de un grupo $G$ sobre un conjunto no vacío $\Omega$. Por defecto, todas las acciones consideradas serán «a derecha» (debido a que la acción natural del grupo simétrico $S_n$ sobre el conjunto $\{1,\ldots,n\}$ es una acción a derecha, por la manera en la que hemos definido el producto de permutaciones). Hemos visto varios ejemplos de acciones (la acción del grupo diédrico de orden 8 sobre los vértices de un cuadrado y la acción natural de $S_n$ sobre $\{1,\ldots,n\}$ entre ellos). Finalmente hemos definido el concepto de «órbita» de un elemento $\alpha$ de $\Omega$, denotada por $O_G(\alpha)$ como una clase de equivalencia de la siguiente relación binaria de equivalencia en $\Omega$: $\alpha \sim \beta$ si existe $g\in G$ tal que $\alpha\cdot g=\beta$. Dicho de otro modo:

$$O_G(\alpha)=\{\alpha\cdot g\mid g\in G\}.$$

Hemos visto también varios ejemplos para aclarar mejor el concepto. También hemos definido el concepto de «acción transitiva», aplicándolo a varios ejemplos.