Hemos comenzado con varios ejemplos de acciones notables: la acción de un grupo $G$ por multiplicación a derecha sobre el conjunto de las clases a derecha módulo un subgrupo, la acción de $G$ por multiplicación sobre un subgrupo, la acción de $G$ sobre $G$ por conjugación, etc.

Dada una acción de un grupo $G$ sobre un conjunto no vacío $\Omega$ y dado un elemento $\alpha\in \Omega$, hemos definido el «estabilizador, según $G$, de $\alpha$», denotado por $Stab_G(\alpha)$, como el conjunto de los elementos de $G$ que «estabilizan» a $\alpha$ (es decir, tales que $\alpha \cdot G=\alpha$). Hemos probado que es un subgrupo de $G$ y hemos enunciado y probado el importante teorema «órbita-estabilizador», que afirma que si el grupo $G$ es finito, entonces el cardinal de la órbita de un elemento cualquiera de $\Omega$ coincide con el índice de su estabilizador. Se relaciona, así, el cardinal de una órbita (que va asociado al conjunto $\Omega$) con el índice de cierto subgrupo (que va asociado al grupo $G$ que actúa sobre $\Omega$).

Hemos demostrado, usando toda la «maquinaria» de acciones que hemos visto, el Teorema de Cauchy, que afirma que si un número primo $p$ divide al orden de un grupo finito $|G|$ entonces $G$ posee un elemento de orden $p$.

Finalmente hemos definido el concepto de «acción fiel» y hemos visto un ejemplo particular de acción «a izquierda».