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Archivos anuales: 2024
Clase del 21 de noviembre (2 horas)
Se dedicó esta clase a resolver varios problemas del capítulo 2.
Clase del 18 de noviembre (1 hora)
Probamos que cualquier grupo cíclico infinito es isomorfo a $(\mathbb{Z},+)$ y que cualquier grupo cíclico finito de orden $n$ es isomorfo a $(\mathbb{Z}_n,+)$. Por tanto, dos grupos cíclicos del mismo orden son isomorfos. Dado un grupo $G$, definimos el grupo de automorfismos de $G$, $Aut(G)$, y el concepto de automorfismo interno. Probamos que el conjunto […]
Clase del 14 de noviembre (2 horas)
Demostramos el Teorema de Cayley, que afirma que cualquier grupo $G$ es isomorfo a un subgrupo de $S_G$ (el grupo de permutaciones del conjunto $G$). En particular, se deduce que cualquier grupo finito de orden $n$ es isomorfo a un subgrupo de $S_n$. Así pues, todos los grupos finitos «se realizan» como subgrupos de algún […]
Clase del 11 de noviembre (1 hora)
Demostramos el Teorema de Correspondencia, que afirma que, dado un grupo $G$ y un subrupo normal $N$, los subgrupos del grupo cociente $G/N$ son exactamente aquellos de la forma $K/N$, siendo $K$ un subgrupo de $G$ que contiene a $N$.
Clase del 24 de octubre (2 horas)
Hemos detallado algunos ejemplos de homomorfismos de grupos y probado algunas propiedades elementales. En particular, si $f: G \rightarrow H$ es un homomorfismo de grupos: También hemos definido el concepto de núcleo de un homomorfismo $f:G \rightarrow H$ y hemos probado que es un subgrupo normal de $G$. También hemos visto que un homomorfismo es […]
Para los interesados en los fundamentos de las matemáticas:
“Matemáticas. La pérdida de la certidumbre” de Morris Kline. Versión en inglés
Clase del 21 de octubre (1 hora)
Hoy hemos resuelto el problema número 13 de la hoja de problemas del Tema 1. La solución es un poco liosa, pero nos ha servido para repasar algunos resultados y técnicas relacionados con órdenes de elementos. Hemos comenzado también el Tema 2 (Homomorfismos de grupos). Hemos definido el concepto de homomorfismo de grupos (que es […]
De «Introduction to Mathematical Philosophy»(Bertrand Russell)
«Mathematics is a study which, when we start from its most familiar portions, may be pursued in either of two opposite directions. The more familiar direction is constructive, towards gradually increasing complexity: from integers to fractions, real numbers, complex numbers; from addition and multiplication to differentiation and integration, and on to higher mathematics. The other […]
Clase del 14 de octubre (1 hora)
Durante la clase consideramos la terna $(\mathbb{Z}_n,+,\cdot)$ y recordamos las propiedades de las dos operaciones: suma y producto de clases de congruencia módulo $n$: Estas dos propiedades se resumen diciendo que $(\mathbb{Z}_n,+,\cdot)$ tiene estructura de anillo. Además, la operación $\cdot$ es conmutativa (se trata, por tanto, de un anillo conmutativo) y tiene elemento neutro, la […]
Clase del 10 de octubre (2 horas)
En la clase de hoy hemos definido los grupos simples como aquellos grupos $G$ cuyos únicos subgrupos normales son $1$ y $G$ (no tienen subgrupos normales intermedios). Hemos demostrado también que si $G\neq 1$ es un grupo finito entonces se satisface la siguiente equivalencia: $G$ es simple y abeliano $\Leftrightarrow$ $G$ es cíclico de orden […]