Probamos que cualquier grupo cíclico infinito es isomorfo a $(\mathbb{Z},+)$ y que cualquier grupo cíclico finito de orden $n$ es isomorfo a $(\mathbb{Z}_n,+)$. Por tanto, dos grupos cíclicos del mismo orden son isomorfos.

Dado un grupo $G$, definimos el grupo de automorfismos de $G$, $Aut(G)$, y el concepto de automorfismo interno. Probamos que el conjunto $Int(G)$ formado por los automorfismos internos de $G$ es un subgrupo normal de $Aut(G)$ y que, además, es isomorfo a $G/Z(G)$.

Demostramos el Teorema de Cayley, que afirma que cualquier grupo $G$ es isomorfo a un subgrupo de $S_G$ (el grupo de permutaciones del conjunto $G$). En particular, se deduce que cualquier grupo finito de orden $n$ es isomorfo a un subgrupo de $S_n$. Así pues, todos los grupos finitos «se realizan» como subgrupos de algún grupo simétrico $S_n$.

La demostración del Teorema de Cayley proporciona una descripción explícita del subgrupo de $S_G$ al que es isomorfo $G$. Como ejemplo, usando dicha descripción, encontramos una realización explícita del 4-grupo de Klein $K_4$ como subgrupo de $S_4$.

Finalmente demostramos los Teoremas de Isomorfía.

Demostramos el Teorema de Correspondencia, que afirma que, dado un grupo $G$ y un subrupo normal $N$, los subgrupos del grupo cociente $G/N$ son exactamente aquellos de la forma $K/N$, siendo $K$ un subgrupo de $G$ que contiene a $N$.

Hemos detallado algunos ejemplos de homomorfismos de grupos y probado algunas propiedades elementales. En particular, si $f: G \rightarrow H$ es un homomorfismo de grupos:

• La imagen del neutro de $G$ es el neutro de $H$.
• La imagen del inverso de un elemento es el inverso de la imagen.
• La imagen de un subgrupo de $G$ es un subgrupo de $H$.
• La anti-imagen de un subgrupo de $H$ es un subgrupo de $G$.
• La imagen por $f$ de un elemento de orden finito $x\in G$ tiene orden finito y su orden divide al de $x$.
• La composición de homomorfismos es homomorfismo.
• La aplicación inversa de un homomorfismo biyectivo es homomorfismo.

También hemos definido el concepto de núcleo de un homomorfismo $f:G \rightarrow H$ y hemos probado que es un subgrupo normal de $G$. También hemos visto que un homomorfismo es inyectivo si y sólo si su núcleo es trivial. Esto da lugar a una manera alternativa a la habitual para probar que un homomorfismo es inyectivo: basta con demostrar que su núcleo es trivial.

Finalmente, hemos resuelto uno de los problemas del Tema 1: hemos probado que “Si $G$ es un grupo y $G/Z(G)$ es cíclico entonces $G$ es abeliano”.

Hoy hemos resuelto el problema número 13 de la hoja de problemas del Tema 1. La solución es un poco liosa, pero nos ha servido para repasar algunos resultados y técnicas relacionados con órdenes de elementos.

Hemos comenzado también el Tema 2 (Homomorfismos de grupos). Hemos definido el concepto de homomorfismo de grupos (que es el análogo al de “aplicación lineal” en álgebra lineal) y hemos definido los diversos tipos de homomorfismos según sean inyectivos, suprayectivos o biyectivos (monomorfismo, epimorfismo o isomorfismo). Un homomorfismo de un grupo $G$ en sí mismo se dice que es un endomorfismo. Un automorfismo es un endomorfismo que es también isomorfismo. Son conceptos que os resultarán familiares (por el álgebra lineal).

En la próxima clase resolveremos algún problema más y continuaremos con la teoría del Tema 2.