Hoy se ha probado un importante teorema relacionado con el orden de un elemento. En particular, para cualquier elemento $x$ de orden finito de un grupo $G$ se satisface lo siguiente:

• Si $m$ es cualquier entero, $x^m=1$ si y sólo si $o(x)$ divide a $m$.
• El elemento $x$ tiene EXACTAMENTE tantas potencias distintas como su orden: $1, x, x^2,\ldots, x^{o(x)-1}$. Cualquier potencia de $x^k$ puede “reducirse” a una de éstas. En efecto, aplicando el algoritmo de la división a $k$ y a $o(x)$ se tiene la existencia de dos enteros $q,r$ tales que $k=q\cdot o(x)+r$, siendo $0\leq r\leq o(x)-1$. Por tanto: $$x^k=x^{q o(x)+r}=(x^{o(x)})^q x^r=x^r.$$ Obsérvese que $x^r$ es un elemento de la lista anterior.
• Cualquier potencia $x^m$ (con $m$ entero) tiene orden finito y además, es fácilmente calculable: $$o(x^m)=\frac{o(x)}{mcd(o(x),m)}.$$

Para la prueba de este teorema hemos usado, como “truco” clave, el algoritmo de la división. También hemos visto que el orden del inverso de un elemento coincide con el orden del propio elemento.

Dados dos elementos $x,g$ pertenecientes a un grupo $G$, el “conjugado de $x$ con $g$” se define de la siguiente manera: $$x^g:=g^{-1}xg.$$

¡Ojo! No hay que confundir “conjugado” con “potencia”:

• Una “potencia” de un elemento $x$ es un elemento de la forma $x^n$ o $x^{-n}$, donde $n$ es un ENTERO no negativo. Cuando $n$ es positivo, $x^n$ representa el resultado de operar $x$ consigo mismo $n$ veces, y $x^{-n}$ representa el resultado de operar $x^{-1}$ (el inverso de $x$) consigo mismo $n$ veces. Cuando $n=0$, la potencia $x^n$ es igual a $1$ (por definición).
• Un “conjugado” de $x$ es un elemento de la forma $g^{-1}xg$, siendo $g$ otro elemento del del grupo. Se denota por $x^g$. Aquí EL “EXPONENTE” ES UN ELEMENTO DEL GRUPO, NO UN ENTERO.

En algunos libros el “conjugado de $x$ con $g$” se define como $g x g^{-1}$, en vez de como $g^{-1}xg$. Es una simple cuestión de nomenclatura.

Hemos probado que si un elemento tiene orden finito, todos sus conjugados tienen el mismo orden que él (es decir, el orden de un elemento se conserva por conjugación).

También hemos probado que si $a$ y $b$ tienen orden finito, los productos $ab$ y $ba$ también y, además, $o(ab)=o(ba)$. Además, SI $a$ Y $b$ CONMUTAN, $o(ab)$ divide al mínimo común múltiplo de $o(a)$ y $o(b)$; si, además de eso, $o(a)$ y $o(b)$ son coprimos, el orden de $ab$ es el producto de los órdenes: $o(a) o(b)$.

Se ha demostrado también que cualquier elemento de un grupo FINITO tiene orden finito. Sin embargo, existen grupos infinitos cuyos elementos tienen todos orden finito (véase el Problema B-2).

Hemos definido también el concepto de SUBGRUPO: un subconjunto $H$ de un grupo $G$ se dice que es un “subgrupo” de $G$ si es un grupo con la misma operación de $G$ restringida a $H$. Es el análogo (en el ambiente de “grupos”) al concepto de subespacio vectorial en Álgebra Lineal. Como primer ejemplo, hemos comentado que el grupo de los números enteros $\mathbb{Z}$ (con la suma) es un subgrupo del grupo de los números reales $\mathbb{R}$ (con la suma). Hemos leído el Teorema de Caracterización de Subgrupos, cuya demostración haremos en la próxima clase. Se trata de un criterio “práctico” que puede usarse para demostrar que un determinado subconjunto de un grupo es un subgrupo.

ACLARACIÓN RELACIONADA CON LAS POTENCIAS DE UN ELEMENTO: Cuando un grupo tenga notación aditiva, el resultado de operar $k$ veces un elemento $x$ consigo mismo se escribe como $kx$ (NO COMO $x^k$). Por ejemplo, si consideramos el grupo $(\mathbb{Z}_6,+)$, sabemos que todo elemento suyo tiene orden finito (pues se trata de un grupo finito). Elijamos, por ejemplo, el elemento $\overline{2}$. Veamos qué orden tiene:

• Como $\overline{2}$ es distinto de $\overline{0}$ (el neutro), tiene orden estrictamente mayor que $1$.
• Si operamos $\overline{2}$ consigo mismo dos veces obtenemos: $$2\overline{2}=\overline{2}+\overline{2}=\overline{4},$$ que sigue siendo distinto de $\overline{0}$ (el neutro). Por tanto, el orden de $\overline{2}$ no es $2$.
• Si operamos $\overline{2}$ consigo mismo 3 veces obtenemos: $$3\overline{2}=\overline{2}+\overline{2}+\overline{2}=\overline{6}=\overline{0}.$$

Por tanto, $o(\overline{2})=3$. Como consecuencia, EXISTEN EXACTAMENTE 3 “POTENCIAS” de $\overline{2}$ (entendiéndose aquí “potencia” como $k\overline{2}$, con $k$ entero): $$\overline{0}=0 \overline{2}, \; \overline{2}\; \mbox { y } \;2 \overline{2}=\overline{4}.$$ Cualquier otra “potencia” de $\overline{2}$ se “reduce” a una de éstas.

EJERCICIO PROPUESTO: Consideremos la permutación de $S_4$ dada por el $3$-ciclo $\sigma:=(1,2,3)$. Ya demostramos en la clase del martes que el orden de un ciclo coincide con su longitud. Por tanto, $o(\sigma)=3$. Así pues, $\sigma$ tiene exactamente 3 potencias, que son las siguientes: $$1_{S_4}=(1,2,3)^0,\; (1,2,3)\; \mbox{ y }\; (1,2,3)^2=(1,3,2)$$ (comprueba la última igualdad). ¿Cuál de estos elementos es $(1,2,3)^{-23}$?

Hoy hemos continuado viendo ejemplos remarcables de grupos:

• El grupo diédrico de orden 2n (denotado por $D_{2n}$) es el grupo de simetrías de un polígono regular de n lados (para n mayor o igual que 3). Está formado por n rotaciones (de ángulos $2k\pi/n$, para $k=0,1,\ldots,n-1$; la rotación de ángulo $0$ es la identidad) y $n$ reflexiones.
• El grupo cuaternio de orden 8 (denotado por $Q_8$) está formado por $8$ elementos, $\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k$, sujetos a unas “reglas” muy sencillas. Aunque es un grupo formado por matrices, las “reglas” sencillas vistas en clase permiten obtener la tabla de Cayley del grupo y, por tanto, describirlo perfectamente. De esta manera, tratamos el grupo como un conjunto de símbolos con los que operamos siguiendo ciertas “reglas”. Es un simple juego simbólico. La representación de un grupo por medio de una serie de cadenas de símbolos sujetos a unas “reglas” o “relaciones” es muy común en teoría de Grupos. Tenéis una explicación rigurosa de esto en uno de los apéndices de los apuntes de la asignatura (apéndice E: “Grupos libres y presentaciones de grupos”). En las prácticas de laboratorio está previsto ver la definición de grupo libre y una aplicación de este concepto a la resolución del cubo de Rubik; sin embargo, la escasa duración (semestral) del curso no da para estudiar estos contenidos con más detalle.
• El grupo simétrico (o grupo de permutaciones) de un conjunto arbitrario $\Omega$ (denotado por $S_{\Omega}$) está formado por las aplicaciones biyectivas de $\Omega$ en $\Omega$ (también llamadas “permutaciones” de $\Omega$). La operación que lo dota de estructura de grupo es la composición de aplicaciones: para todo $f,g\in S_{\Omega}$, $f\cdot g$ se define como la biyección composición $g\circ f$. El elemento neutro es la aplicación identidad, y el elemento inverso de una permutación $f$ es su aplicación inversa $f^{-1}$. Si el conjunto $\Omega$ es el formado por los $n$ primeros números naturales, $S_{\Omega}$ se denota por $S_n$ y se denomina “grupo simétrico de grado n”. Su ORDEN es $n!$ (el número de biyecciones de un conjunto de $n$ elementos en sí mismo, o el número de permutaciones (sin repetición) de $n$ elementos). Hemos visto cómo se representa una permutación de $S_n$ y hemos visto la definición de “$k$-ciclo” y de “transposición” (2-ciclo).
• Si $K$ es un cuerpo cualquiera, el “grupo general lineal” sobre $K$ de grado $n$” se define como el grupo formado por las matrices cuadradas de orden $n$ invertibles con elementos en $K$, con la operación dada por el producto matricial.
• Para todo entero positivo $n\geq 2$, $(\mathbb{Z}_n,+)$ es también un grupo, donde $\mathbb{Z}_n$ es el conjunto de las clases de congruencia módulo $n$ (que ya visteis el curso pasado en Matemática Discreta). $(\mathbb{Z}_n\setminus \{0\}, \cdot)$ es un grupo si $n$ es un número primo; en caso contrario no lo es (de hecho, tal y como apuntaba un compañero vuestro con gran acierto, $\cdot$ no es ni tan siquiera una operación binaria en $\mathbb{Z}_n\setminus \{0\}$, pues hay elementos que, multiplicados, dan la clase del $0$ como resultado).

Hemos visto la noción de “grupos isomorfos”. Dos grupos $G$ y $H$ son “isomorfos” si existe una aplicación BIYECTIVA $f:G\rightarrow H$ entre ellos que “se comporta bien” con respecto a las operaciones de $G$ y $H$ (esto quiere decir que $f(ab)=f(a)f(b)$ para todo $a,b\in G$. Una aplicación $f$ de este estilo se denomina ISOMORFISMO. Cuando $G$ y $H$ son isomorfos, se representa por $G\cong H$. El hecho de que dos grupos sean isomorfos significa que, desde el punto de vista de la “estructura de grupo”, son esencialmente el mismo. Si son finitos, tienen la misma tabla de Cayley si “renombramos” los elementos convenientemente. Hemos visto que el grupo diédrico de orden 6, $D_6$, y el grupo simétrico de grado 3, $S_3$ son isomorfos.

Hemos definido la noción de “orden de un elemento”: dado un elemento $x$ de un grupo $G$, decimos que “$x$ tiene orden finito” si existe algún entero POSITIVO $k$ tal que $x^k=1$ (es decir, si $x$ “operado $k$ veces consigo mismo es igual al elemento neutro de $G$”). En tal caso, al mínimo $k$ con esta condición se le llama “orden de $x$” y se denota por $o(x)$. En el caso en el que todas las potencias $x^k$, con $k$ entero positivo, sean distintas del elemento neutro $1$, se dice que “$x$ tiene orden infinito”. Hemos visto varios ejemplos de cálculo de órdenes de elementos, tanto con notación multiplicativa como con notación aditiva (¡ojo con esto!).

Hemos probado que el orden de un $k$-ciclo es igual a $k$ y hemos visto el enunciado de un IMPORTANTE y básico teorema sobre órdenes de elementos, cuya demostración veremos durante la siguiente clase.

PODÉIS RESOLVER YA MISMO EL PRIMER PROBLEMA DE LA HOJA DE PROBLEMAS DEL CAPÍTULO 1:

Un hecho evidente que os puede ayudar a resolver este problema es el siguiente: un elemento $x$ satisface que $x^2=1$ si y sólo si $x=x^{-1}$ (es decir, $x$ coincide con su inverso). Para convencerse de este hecho ¡simplemente hay que tener delante la definición de inverso!

Después de la preceptiva presentación de la asignatura (temario, evaluación, etc.) hemos comenzado con el primer tema: “Grupos”.

Hemos definido la noción de semigrupo (conjunto no vacío con una operación binaria que es asociativa), monoide (semigrupo con elemento neutro) y grupo (monoide en el cual todo elemento tiene inverso).

Hemos probado que el elemento neutro de un monoide (y, por tanto, de un grupo) es único, y que cualquier elemento de un grupo tiene un ÚNICO inverso. Todo ello usando ESTRICTAMENTE los axiomas de monoide y de grupo.

Hemos visto diferentes ejemplos (de carácter numérico) de semigrupos, monoides y grupos. Se ha definido el “grupo de simetrías” de un subconjunto $F$ de $\mathbb{R}^n$ (denotado por $M(F)$) como el conjunto de las isometrías que dejan invariante a $F$, con la operación “composición”.

El grupo de simetrías de un rectángulo se denomina “4-grupo de Klein” (y se denota por $K_4$; no recuerdo si esto lo he mencionado en clase). Tiene 4 elementos: la identidad, la rotación de ángulo $\pi$, la reflexión respecto del eje de abscisas, y la reflexión respecto del eje de ordenadas (supuesto el rectángulo centrado en el origen de coordenadas). A partir de su tabla de Cayley se ve que se trata de un grupo abeliano.

El grupo de simetrías de un triángulo equilátero se denomina “grupo diédrico de orden 6” (y se denota por $D_6$). Tiene 6 elementos: la identidad, la rotación de $2\pi/3$ radianes en sentido anti-horario (positivo), la rotación de $2\pi/3$ radianes en sentido horario, y las reflexiones respecto a las 3 mediatrices del triángulo. A partir de su tabla de Cayley se ve claramente que NO es un grupo abeliano.