Hoy hemos demostrado, en primer lugar, que los subgrupos de $\mathbb{Z}$ son exactamente los de la forma $n\mathbb{Z}$, con $n\in \mathbb{Z}$.

También hemos probado un importante teorema sobre la estructura de un grupo cíclico finito. Afirma lo siguiente: si $G$ es un grupo cíclico finito generado por un cierto elemento $g$ de orden $n$ entonces el orden del grupo coincide con el orden del generador ($n$) y los elementos de $G$ son exactamente las $n$ primeras potencias de $g$ de exponente no negativo: $1=g^0, g=g^1, g^2,\ldots, g^{n-1}$. Además, para cada divisor $k$ de $|G|=n$, $G$ tiene un único subgrupo de orden $k$ (que está generado por $g^{n/k}$). Como consecuencia del Teorema de Lagrange (que veremos próximamente), el orden de cualquier subgrupo de un grupo finito debe ser un divisor del orden del grupo. Por tanto, los subgrupos anteriormente considerados son todos los subgrupos de $G$.

También hemos visto, como corolario, que si $G=\langle g \rangle$ es un grupo cíclico de orden $n$ entonces los conjuntos de generadores de $G$ de cardinal $1$ son los de la forma $\{g^m\}$, siendo $m$ coprimo con $n$. Dicho de otro modo: $G=\langle g^m\rangle$ si y sólo si ${\rm mcd}(n,m)=1$. Por tanto, el número de generadores de cardinal 1 de $G$ es $\varphi(n)$, es decir, la función de Euler de $n$.

Por ejemplo, si $G=\langle g \rangle$ es un grupo cíclico de orden $10$ entonces sus elementos son $\{1, g, g^2,\ldots, g^9\}$ y, además, $G$ tiene $\varphi(10)=4$ sistemas de generadores de cardinal 1, que son $\{g\}$, $\{g^3\}$, $\{g^7\}$ y $\{g^9\}$. Dicho de otro modo: $$G=\langle g \rangle=\langle g^3 \rangle= \langle g^7 \rangle=\langle g^9\rangle.$$

Planteo la siguiente pregunta: ¿cuáles son los sistemas de generadores de cardinal 1 de $\mathbb{Z}$?

Finalmente hemos demostrado que un grupo finito $G$ es cíclico si y sólo si posee un elemento de orden $|G|$.