Demostramos el Teorema de Cayley, que afirma que cualquier grupo $G$ es isomorfo a un subgrupo de $S_G$ (el grupo de permutaciones del conjunto $G$). En particular, se deduce que cualquier grupo finito de orden $n$ es isomorfo a un subgrupo de $S_n$. Así pues, todos los grupos finitos «se realizan» como subgrupos de algún grupo simétrico $S_n$.

La demostración del Teorema de Cayley proporciona una descripción explícita del subgrupo de $S_G$ al que es isomorfo $G$. Como ejemplo, usando dicha descripción, encontramos una realización explícita del 4-grupo de Klein $K_4$ como subgrupo de $S_4$.

Finalmente demostramos los Teoremas de Isomorfía.