Hemos comenzado con varios ejemplos de acciones notables: la acción de un grupo $G$ por multiplicación a derecha sobre el conjunto de las clases a derecha módulo un subgrupo, la acción de $G$ por multiplicación sobre un subgrupo, la acción de $G$ sobre $G$ por conjugación, etc.

Dada una acción de un grupo $G$ sobre un conjunto no vacío $\Omega$ y dado un elemento $\alpha\in \Omega$, hemos definido el «estabilizador, según $G$, de $\alpha$», denotado por $Stab_G(\alpha)$, como el conjunto de los elementos de $G$ que «estabilizan» a $\alpha$ (es decir, tales que $\alpha \cdot G=\alpha$). Hemos probado que es un subgrupo de $G$ y hemos enunciado y probado el importante teorema «órbita-estabilizador», que afirma que si el grupo $G$ es finito, entonces el cardinal de la órbita de un elemento cualquiera de $\Omega$ coincide con el índice de su estabilizador. Se relaciona, así, el cardinal de una órbita (que va asociado al conjunto $\Omega$) con el índice de cierto subgrupo (que va asociado al grupo $G$ que actúa sobre $\Omega$).

Hemos demostrado, usando toda la «maquinaria» de acciones que hemos visto, el Teorema de Cauchy, que afirma que si un número primo $p$ divide al orden de un grupo finito $|G|$ entonces $G$ posee un elemento de orden $p$.

Finalmente hemos definido el concepto de «acción fiel» y hemos visto un ejemplo particular de acción «a izquierda».

En lugar de ver la segunda parte del capítulo 4 (Anillos de polinomios), hemos optado por ver los aspectos más importantes del capítulo 3 (Acciones de un grupo sobre un conjunto). El motivo es doble: por una parte, el estudio de los anillos de polinomios constituye la primera parte de la asignatura de cuarto Estructuras Algebraicas II; por otra parte, resulta altamente interesante entender el concepto de «acción de un grupo sobre un conjunto» debido a que aparece en muy diversas áreas de las matemáticas y resulta muy útil para definir ciertos objetos geométricos, como por ejemplo el «espacio proyectivo $n$-dimensional sobre un cuerpo $K$» (que se define como el conjunto de órbitas de una cierta acción del grupo multiplicativo $K^*$ sobre el conjunto de los puntos distintos de $0$ del espacio afín $(n+1)$-dimensional $K^{n+1}$).

Hemos definido el concepto de acción (a derecha y a izquierda) de un grupo $G$ sobre un conjunto no vacío $\Omega$. Por defecto, todas las acciones consideradas serán «a derecha» (debido a que la acción natural del grupo simétrico $S_n$ sobre el conjunto $\{1,\ldots,n\}$ es una acción a derecha, por la manera en la que hemos definido el producto de permutaciones). Hemos visto varios ejemplos de acciones (la acción del grupo diédrico de orden 8 sobre los vértices de un cuadrado y la acción natural de $S_n$ sobre $\{1,\ldots,n\}$ entre ellos). Finalmente hemos definido el concepto de «órbita» de un elemento $\alpha$ de $\Omega$, denotada por $O_G(\alpha)$ como una clase de equivalencia de la siguiente relación binaria de equivalencia en $\Omega$: $\alpha \sim \beta$ si existe $g\in G$ tal que $\alpha\cdot g=\beta$. Dicho de otro modo:

$$O_G(\alpha)=\{\alpha\cdot g\mid g\in G\}.$$

Hemos visto también varios ejemplos para aclarar mejor el concepto. También hemos definido el concepto de «acción transitiva», aplicándolo a varios ejemplos.

Se resolvieron problemas del 1al 7 de la hoja de problemas del Capítulo 4. El problema número 8 se dejó como ejercicio. Consiste en la construcción del «cuerpo de cocientes» de un dominio de integridad. Imita el proceso de construcción del cuerpo de los números racionales como conjunto cociente de una relación binaria de equivalencia en $\mathbb{Z}\times (\mathbb{Z}\setminus \{0\})$.

Hemos definido el concepto de ideal primo de un anillo conmutativo $A$ como un ideal $I$ distinto de $A$ tal que se satisface la siguiente implicación: si $a,b\in A$ y $ab\in I$ entonces $a\in I$ o $b\in I$.

Hemos probado la siguiente caracterización: un ideal $I$ de $A$ es primo si y sólo si el anillo cociente $A/I$ es un dominio de integridad.

También hemos definido el concepto de ideal maximal de un anillo $A$ como aquel ideal $I$ de $A$ que satisface la siguiente implicación: si $J$ es un ideal de $A$ tal que $I\subseteq J\subseteq A$ entonces $J=I$ o $J=A$. Dicho de otro modo, si no existen ideales intermedios entre $I$ y $A$. Hemos probado que, en el caso de ser el anillo $A$ conmutativo, un ideal $I$ es maximal si y sólo si el anillo cociente $A/I$ es un cuerpo.

Hoy hemos definido el concepto de homomorfismo de anillos y hemos visto algunas de sus propiedades básicas. En particular, hemos visto que el núcleo de un homomorfismo de anillos es un ideal y que la imagen de un homomorfismo de anillos es un subanillo. También hemos demostrado el Primer Teorema de Isomorfía para Anillos. Para finalizar la clase hemos definido el concepto de ideal primo (en el ámbito de anillos conmutativos). Se trata de una adaptación al ámbito abstracto de la Teoría de Anillos del concepto de número primo.

Definimos la noción de «cuerpo» como un anillo de divisón conmutativo. Como ejemplos, mostramos que el anillo de los enteros no es un cuerpo (puesto que sus únicas unidades son 1 y -1) y que $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$ y $\mathbb{Z}_p$ (con $p$ primo) son cuerpos.

Como ejercicio, demostramos que una unidad en un anillo no puede ser divisor de cero.

Definimos las nociones de subanillo y subcuerpo, proporcionando una caracterización de cada una de ellas (Ejercicio 4.6).

Definimos también la noción de ideal de un anillo, proporcionando una caracterización en el Ejercicio 4.7. Como primeros ejemplos mostramos que los ideales de $\mathbb{Z}$ son $n\mathbb{Z}$, con $n\in \mathbb{Z}$.

Probamos que si un ideal contiene una unidad del anillo, entonces el ideal coincide con el anillo. Este resultado se usa a menudo en las demostraciones: para probar que un ideal $I$ de un anillo $A$, suele demostrarse que $1\in I$. Como consecuencia vemos que los únicos ideales de un anillo de división (en particular, de un cuerpo) son $\{0\}$ y el propio anillo.

Hemos definido la suma de dos ideales y hemos probado que es un ideal. También hemos probado que la intersección de ideales es un ideal.

Hemos definido el concepto de ideal generado por un conjunto $S$ (denotado por $\langle S\rangle$) como la intersección de todos los ideales que contienen a $S$ (esto es un ideal por lo dicho en el párrafo anterior). Si $I$ es un ideal de un anillo $A$ tal que $I=\langle S \rangle$ se dice que $S$ es un sistema generador, o una base, de $I$.

Hemos demostrado que si $A$ es un anillo conmutativo e $I=\langle S \rangle$, donde $S\subseteq A$, entonces el ideal $I$ coincide con el conjunto de todas las combinaciones lineales finitas de elementos de $S$ con coeficientes en $A$.

Un ideal $I$ de un anillo $A$ se dice que es principal si puede ser generado por un solo elemento de $A$, es decir, si existe $a\in A$ tal que $I=\langle a \rangle$. Además, en el caso en que $A$ sea conmutativo, por el párrafo anterior se tiene que $\langle a\rangle=Aa=aA$.

Hemos demostrado que, si $A$ es un anillo conmutativo, $a\in A$ y $u$ es una unidad de $A$ entonces $\langle a \rangle=\langle ua\rangle$, es decir, un ideal principal no cambia si multiplicamos su generador por una unidad.

Hemos definido el concepto de anillo de ideales principales como un anillo en el que todos sus ideales son principales. Un anillo de ideales principales que es, además, un dominio de integridad, se dice que es un dominio de ideales principales. Un ejemplo es $(\mathbb{Z},+,\cdot)$.

Dado un anillo $A$ y un ideal $I$ de $A$, como $(I,+)$ es un subgrupo de $(A,+)$ (que es normal, al ser $(A,+)$ abeliano), sabemos que $(A/I,+)$ es un grupo (grupo cociente). Hemos visto que, además, $A/I$ tiene estructura de anillo (que se denomina anillo cociente). Además, si $A$ es conmutativo, $A/I$ también lo es.

Finalmente, hemos visto la definición de homomorfismo de anillos.

Se dedicó esta clase a resolver varios problemas del capítulo 2.

Probamos que cualquier grupo cíclico infinito es isomorfo a $(\mathbb{Z},+)$ y que cualquier grupo cíclico finito de orden $n$ es isomorfo a $(\mathbb{Z}_n,+)$. Por tanto, dos grupos cíclicos del mismo orden son isomorfos.

Dado un grupo $G$, definimos el grupo de automorfismos de $G$, $Aut(G)$, y el concepto de automorfismo interno. Probamos que el conjunto $Int(G)$ formado por los automorfismos internos de $G$ es un subgrupo normal de $Aut(G)$ y que, además, es isomorfo a $G/Z(G)$.

Demostramos el Teorema de Cayley, que afirma que cualquier grupo $G$ es isomorfo a un subgrupo de $S_G$ (el grupo de permutaciones del conjunto $G$). En particular, se deduce que cualquier grupo finito de orden $n$ es isomorfo a un subgrupo de $S_n$. Así pues, todos los grupos finitos «se realizan» como subgrupos de algún grupo simétrico $S_n$.

La demostración del Teorema de Cayley proporciona una descripción explícita del subgrupo de $S_G$ al que es isomorfo $G$. Como ejemplo, usando dicha descripción, encontramos una realización explícita del 4-grupo de Klein $K_4$ como subgrupo de $S_4$.

Finalmente demostramos los Teoremas de Isomorfía.

Demostramos el Teorema de Correspondencia, que afirma que, dado un grupo $G$ y un subrupo normal $N$, los subgrupos del grupo cociente $G/N$ son exactamente aquellos de la forma $K/N$, siendo $K$ un subgrupo de $G$ que contiene a $N$.