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Archivos de la categoría: Diario de clase
Clase del 19 de diciembre (2 horas)
Hemos comenzado con varios ejemplos de acciones notables: la acción de un grupo $G$ por multiplicación a derecha sobre el conjunto de las clases a derecha módulo un subgrupo, la acción de $G$ por multiplicación sobre un subgrupo, la acción de $G$ sobre $G$ por conjugación, etc. Dada una acción de un grupo $G$ sobre […]
Clase del 16 de diciembre (1 hora)
En lugar de ver la segunda parte del capítulo 4 (Anillos de polinomios), hemos optado por ver los aspectos más importantes del capítulo 3 (Acciones de un grupo sobre un conjunto). El motivo es doble: por una parte, el estudio de los anillos de polinomios constituye la primera parte de la asignatura de cuarto Estructuras […]
Clase del 12 de diciembre (2 horas)
Se resolvieron problemas del 1al 7 de la hoja de problemas del Capítulo 4. El problema número 8 se dejó como ejercicio. Consiste en la construcción del «cuerpo de cocientes» de un dominio de integridad. Imita el proceso de construcción del cuerpo de los números racionales como conjunto cociente de una relación binaria de equivalencia […]
Clase del 9 de diciembre (1 hora)
Hemos definido el concepto de ideal primo de un anillo conmutativo $A$ como un ideal $I$ distinto de $A$ tal que se satisface la siguiente implicación: si $a,b\in A$ y $ab\in I$ entonces $a\in I$ o $b\in I$. Hemos probado la siguiente caracterización: un ideal $I$ de $A$ es primo si y sólo si el […]
Clase del 2 de diciembre (1 hora)
Hoy hemos definido el concepto de homomorfismo de anillos y hemos visto algunas de sus propiedades básicas. En particular, hemos visto que el núcleo de un homomorfismo de anillos es un ideal y que la imagen de un homomorfismo de anillos es un subanillo. También hemos demostrado el Primer Teorema de Isomorfía para Anillos. Para […]
Clase del 28 de noviembre (2 horas)
Definimos la noción de «cuerpo» como un anillo de divisón conmutativo. Como ejemplos, mostramos que el anillo de los enteros no es un cuerpo (puesto que sus únicas unidades son 1 y -1) y que $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$ y $\mathbb{Z}_p$ (con $p$ primo) son cuerpos. Como ejercicio, demostramos que una unidad en un anillo no […]
Clase del 21 de noviembre (2 horas)
Se dedicó esta clase a resolver varios problemas del capítulo 2.
Clase del 18 de noviembre (1 hora)
Probamos que cualquier grupo cíclico infinito es isomorfo a $(\mathbb{Z},+)$ y que cualquier grupo cíclico finito de orden $n$ es isomorfo a $(\mathbb{Z}_n,+)$. Por tanto, dos grupos cíclicos del mismo orden son isomorfos. Dado un grupo $G$, definimos el grupo de automorfismos de $G$, $Aut(G)$, y el concepto de automorfismo interno. Probamos que el conjunto […]
Clase del 14 de noviembre (2 horas)
Demostramos el Teorema de Cayley, que afirma que cualquier grupo $G$ es isomorfo a un subgrupo de $S_G$ (el grupo de permutaciones del conjunto $G$). En particular, se deduce que cualquier grupo finito de orden $n$ es isomorfo a un subgrupo de $S_n$. Así pues, todos los grupos finitos «se realizan» como subgrupos de algún […]
Clase del 11 de noviembre (1 hora)
Demostramos el Teorema de Correspondencia, que afirma que, dado un grupo $G$ y un subrupo normal $N$, los subgrupos del grupo cociente $G/N$ son exactamente aquellos de la forma $K/N$, siendo $K$ un subgrupo de $G$ que contiene a $N$.