Hemos definido el concepto de ideal primo de un anillo conmutativo $A$ como un ideal $I$ distinto de $A$ tal que se satisface la siguiente implicación: si $a,b\in A$ y $ab\in I$ entonces $a\in I$ o $b\in I$.

Hemos probado la siguiente caracterización: un ideal $I$ de $A$ es primo si y sólo si el anillo cociente $A/I$ es un dominio de integridad.

También hemos definido el concepto de ideal maximal de un anillo $A$ como aquel ideal $I$ de $A$ que satisface la siguiente implicación: si $J$ es un ideal de $A$ tal que $I\subseteq J\subseteq A$ entonces $J=I$ o $J=A$. Dicho de otro modo, si no existen ideales intermedios entre $I$ y $A$. Hemos probado que, en el caso de ser el anillo $A$ conmutativo, un ideal $I$ es maximal si y sólo si el anillo cociente $A/I$ es un cuerpo.

Hoy hemos definido el concepto de homomorfismo de anillos y hemos visto algunas de sus propiedades básicas. En particular, hemos visto que el núcleo de un homomorfismo de anillos es un ideal y que la imagen de un homomorfismo de anillos es un subanillo. También hemos demostrado el Primer Teorema de Isomorfía para Anillos. Para finalizar la clase hemos definido el concepto de ideal primo (en el ámbito de anillos conmutativos). Se trata de una adaptación al ámbito abstracto de la Teoría de Anillos del concepto de número primo.

Definimos la noción de «cuerpo» como un anillo de divisón conmutativo. Como ejemplos, mostramos que el anillo de los enteros no es un cuerpo (puesto que sus únicas unidades son 1 y -1) y que $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$ y $\mathbb{Z}_p$ (con $p$ primo) son cuerpos.

Como ejercicio, demostramos que una unidad en un anillo no puede ser divisor de cero.

Definimos las nociones de subanillo y subcuerpo, proporcionando una caracterización de cada una de ellas (Ejercicio 4.6).

Definimos también la noción de ideal de un anillo, proporcionando una caracterización en el Ejercicio 4.7. Como primeros ejemplos mostramos que los ideales de $\mathbb{Z}$ son $n\mathbb{Z}$, con $n\in \mathbb{Z}$.

Probamos que si un ideal contiene una unidad del anillo, entonces el ideal coincide con el anillo. Este resultado se usa a menudo en las demostraciones: para probar que un ideal $I$ de un anillo $A$, suele demostrarse que $1\in I$. Como consecuencia vemos que los únicos ideales de un anillo de división (en particular, de un cuerpo) son $\{0\}$ y el propio anillo.

Hemos definido la suma de dos ideales y hemos probado que es un ideal. También hemos probado que la intersección de ideales es un ideal.

Hemos definido el concepto de ideal generado por un conjunto $S$ (denotado por $\langle S\rangle$) como la intersección de todos los ideales que contienen a $S$ (esto es un ideal por lo dicho en el párrafo anterior). Si $I$ es un ideal de un anillo $A$ tal que $I=\langle S \rangle$ se dice que $S$ es un sistema generador, o una base, de $I$.

Hemos demostrado que si $A$ es un anillo conmutativo e $I=\langle S \rangle$, donde $S\subseteq A$, entonces el ideal $I$ coincide con el conjunto de todas las combinaciones lineales finitas de elementos de $S$ con coeficientes en $A$.

Un ideal $I$ de un anillo $A$ se dice que es principal si puede ser generado por un solo elemento de $A$, es decir, si existe $a\in A$ tal que $I=\langle a \rangle$. Además, en el caso en que $A$ sea conmutativo, por el párrafo anterior se tiene que $\langle a\rangle=Aa=aA$.

Hemos demostrado que, si $A$ es un anillo conmutativo, $a\in A$ y $u$ es una unidad de $A$ entonces $\langle a \rangle=\langle ua\rangle$, es decir, un ideal principal no cambia si multiplicamos su generador por una unidad.

Hemos definido el concepto de anillo de ideales principales como un anillo en el que todos sus ideales son principales. Un anillo de ideales principales que es, además, un dominio de integridad, se dice que es un dominio de ideales principales. Un ejemplo es $(\mathbb{Z},+,\cdot)$.

Dado un anillo $A$ y un ideal $I$ de $A$, como $(I,+)$ es un subgrupo de $(A,+)$ (que es normal, al ser $(A,+)$ abeliano), sabemos que $(A/I,+)$ es un grupo (grupo cociente). Hemos visto que, además, $A/I$ tiene estructura de anillo (que se denomina anillo cociente). Además, si $A$ es conmutativo, $A/I$ también lo es.

Finalmente, hemos visto la definición de homomorfismo de anillos.

Se dedicó esta clase a resolver varios problemas del capítulo 2.

Probamos que cualquier grupo cíclico infinito es isomorfo a $(\mathbb{Z},+)$ y que cualquier grupo cíclico finito de orden $n$ es isomorfo a $(\mathbb{Z}_n,+)$. Por tanto, dos grupos cíclicos del mismo orden son isomorfos.

Dado un grupo $G$, definimos el grupo de automorfismos de $G$, $Aut(G)$, y el concepto de automorfismo interno. Probamos que el conjunto $Int(G)$ formado por los automorfismos internos de $G$ es un subgrupo normal de $Aut(G)$ y que, además, es isomorfo a $G/Z(G)$.

Demostramos el Teorema de Cayley, que afirma que cualquier grupo $G$ es isomorfo a un subgrupo de $S_G$ (el grupo de permutaciones del conjunto $G$). En particular, se deduce que cualquier grupo finito de orden $n$ es isomorfo a un subgrupo de $S_n$. Así pues, todos los grupos finitos «se realizan» como subgrupos de algún grupo simétrico $S_n$.

La demostración del Teorema de Cayley proporciona una descripción explícita del subgrupo de $S_G$ al que es isomorfo $G$. Como ejemplo, usando dicha descripción, encontramos una realización explícita del 4-grupo de Klein $K_4$ como subgrupo de $S_4$.

Finalmente demostramos los Teoremas de Isomorfía.

Demostramos el Teorema de Correspondencia, que afirma que, dado un grupo $G$ y un subrupo normal $N$, los subgrupos del grupo cociente $G/N$ son exactamente aquellos de la forma $K/N$, siendo $K$ un subgrupo de $G$ que contiene a $N$.

Hemos detallado algunos ejemplos de homomorfismos de grupos y probado algunas propiedades elementales. En particular, si $f: G \rightarrow H$ es un homomorfismo de grupos:

• La imagen del neutro de $G$ es el neutro de $H$.
• La imagen del inverso de un elemento es el inverso de la imagen.
• La imagen de un subgrupo de $G$ es un subgrupo de $H$.
• La anti-imagen de un subgrupo de $H$ es un subgrupo de $G$.
• La imagen por $f$ de un elemento de orden finito $x\in G$ tiene orden finito y su orden divide al de $x$.
• La composición de homomorfismos es homomorfismo.
• La aplicación inversa de un homomorfismo biyectivo es homomorfismo.

También hemos definido el concepto de núcleo de un homomorfismo $f:G \rightarrow H$ y hemos probado que es un subgrupo normal de $G$. También hemos visto que un homomorfismo es inyectivo si y sólo si su núcleo es trivial. Esto da lugar a una manera alternativa a la habitual para probar que un homomorfismo es inyectivo: basta con demostrar que su núcleo es trivial.

Finalmente, hemos resuelto uno de los problemas del Tema 1: hemos probado que “Si $G$ es un grupo y $G/Z(G)$ es cíclico entonces $G$ es abeliano”.

Hoy hemos resuelto el problema número 13 de la hoja de problemas del Tema 1. La solución es un poco liosa, pero nos ha servido para repasar algunos resultados y técnicas relacionados con órdenes de elementos.

Hemos comenzado también el Tema 2 (Homomorfismos de grupos). Hemos definido el concepto de homomorfismo de grupos (que es el análogo al de “aplicación lineal” en álgebra lineal) y hemos definido los diversos tipos de homomorfismos según sean inyectivos, suprayectivos o biyectivos (monomorfismo, epimorfismo o isomorfismo). Un homomorfismo de un grupo $G$ en sí mismo se dice que es un endomorfismo. Un automorfismo es un endomorfismo que es también isomorfismo. Son conceptos que os resultarán familiares (por el álgebra lineal).

En la próxima clase resolveremos algún problema más y continuaremos con la teoría del Tema 2.