Inicio » Diario de clase (Página 2)
Archivos de la categoría: Diario de clase
Clase del 24 de octubre (2 horas)
Hemos detallado algunos ejemplos de homomorfismos de grupos y probado algunas propiedades elementales. En particular, si $f: G \rightarrow H$ es un homomorfismo de grupos: También hemos definido el concepto de núcleo de un homomorfismo $f:G \rightarrow H$ y hemos probado que es un subgrupo normal de $G$. También hemos visto que un homomorfismo es […]
Clase del 21 de octubre (1 hora)
Hoy hemos resuelto el problema número 13 de la hoja de problemas del Tema 1. La solución es un poco liosa, pero nos ha servido para repasar algunos resultados y técnicas relacionados con órdenes de elementos. Hemos comenzado también el Tema 2 (Homomorfismos de grupos). Hemos definido el concepto de homomorfismo de grupos (que es […]
Clase del 14 de octubre (1 hora)
Durante la clase consideramos la terna $(\mathbb{Z}_n,+,\cdot)$ y recordamos las propiedades de las dos operaciones: suma y producto de clases de congruencia módulo $n$: Estas dos propiedades se resumen diciendo que $(\mathbb{Z}_n,+,\cdot)$ tiene estructura de anillo. Además, la operación $\cdot$ es conmutativa (se trata, por tanto, de un anillo conmutativo) y tiene elemento neutro, la […]
Clase del 10 de octubre (2 horas)
En la clase de hoy hemos definido los grupos simples como aquellos grupos $G$ cuyos únicos subgrupos normales son $1$ y $G$ (no tienen subgrupos normales intermedios). Hemos demostrado también que si $G\neq 1$ es un grupo finito entonces se satisface la siguiente equivalencia: $G$ es simple y abeliano $\Leftrightarrow$ $G$ es cíclico de orden […]
Clase del 7 de octubre (1 hora)
Hemos terminado de resolver el Ejercicio 1.23. Un apartado especialmente importante de este ejercicio, y que debemos tener siempre presente pues resulta muy útil, es el siguiente: todo subgrupo de índice 2 es normal. En particular, como se vio (o se verá) en la práctica 2, el grupo alternado de grado $n$ (formado por las […]
Clase del 3 de octubre (2 horas)
En la clase de ayer probamos algunos resultados que se obtienen aplicando el Teorema de Lagrange: Definimos el concepto de subgrupo normal de un grupo $G$ como aquél en el que las clases a izquierda y a derecha de cualquier elemento coinciden. Es decir, $n\leq G$ es normal en $G$ si $xN=Nx$ para todo $x\in […]
Clase del 30 de septiembre (1 hora)
En la clase de hoy hemos probado el Teorema de Lagrange, que afirma que, dado un grupo finito $G$ y un subgrupo $H$ de $G$, el orden de $G$ es igual al producto del orden de $H$ por su índice. Como consecuencia directa de este resultado se infiere que el orden de cualquier subgrupo de […]
Clase del 26 de septiembre (2 horas)
Hemos comenzado la clase recordando un importante teorema que nos indica cuál es la estructura de los grupos cíclicos finitos. En particular, un grupo cíclico finito tiene un único subgrupo de orden $k$ para cada divisor $k$ del orden del grupo (y estos son exactamente sus subgrupos). Hemos visto, como ejemplo, todos los subgrupos de […]
Clase del 23 de septiembre (1 hora)
Hoy hemos demostrado, en primer lugar, que los subgrupos de $\mathbb{Z}$ son exactamente los de la forma $n\mathbb{Z}$, con $n\in \mathbb{Z}$. También hemos probado un importante teorema sobre la estructura de un grupo cíclico finito. Afirma lo siguiente: si $G$ es un grupo cíclico finito generado por un cierto elemento $g$ de orden $n$ entonces […]
Clase del 18 de septiembre (1 hora)
Hoy hemos corregido el problema número 10 de la hoja de problemas del Tema 1. También hemos definido el concepto de grupo cíclico. Lo recordamos: un grupo $G$ se dice que es cíclico si puede ser generado por un solo elemento, es decir, si existe un elemento $g\in G$ tal que $G=\langle g \rangle$. Dicho […]